Номер 1.8, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.8, страница 7.

Условие.

Найдите область определения функции:

1.8 a) $y = \sqrt{x - 1}$;

б) $y = \sqrt[3]{x + 1}$;

в) $y = \sqrt{x^2 - 1}$;

г) $y = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$;

д) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - x}};$

е) $y = \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x + 4}.$

Решение 1.

Решение 4.

а) Область определения функции $y = \sqrt{x - 1}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень четной степени (квадратный) из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел.
Запишем и решим соответствующее неравенство:
$x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$
Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные 1.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt[3]{x + 1}$ корень является нечетной степени (кубический). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, будь оно положительным, отрицательным или равным нулю.
Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Область определения — все действительные числа.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

в) Функция $y = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 + x}}$ имеет два ограничения:
1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0$.
2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (положительным, так как под корнем, и не равным нулю, так как в знаменателе): $x^2 + x > 0$.
Необходимо решить систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ x^2 + x > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x^2 - 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0$. Корни $x=-1, x=1$. Это парабола ветвями вверх, значит решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x^2 + x > 0 \implies x(x+1) > 0$. Корни $x=-1, x=0$. Это парабола ветвями вверх, значит решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.
Найдем пересечение двух полученных множеств: $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ и $(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.
Пересечение дает: $x \in (-\infty, -1) \cup [1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [1, +\infty)$.

г) Функция $y = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$ является дробно-рациональной. Единственное ограничение для таких функций — знаменатель не может быть равен нулю.
$x^2 - 4 \neq 0$
$x^2 \neq 4$
$x \neq \pm 2$
Таким образом, область определения — это все действительные числа, за исключением -2 и 2.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

д) В функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - x}}$ выражение $x^2 - x$ находится под знаком квадратного корня и в знаменателе. Это означает, что оно должно быть строго больше нуля.
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни $x=0$ и $x=1$ делят числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$. Выражение $x(x-1)$ положительно на крайних интервалах.
Следовательно, решение неравенства: $x < 0$ или $x > 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

е) Функция $y = \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x + 4}$ имеет два ограничения:
1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $x^2 + x \ge 0$.
2. Знаменатель не должен равняться нулю: $x + 4 \neq 0$.
Решим первое условие: $x^2 + x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0$. Корни $x=0, x=-1$. Это парабола ветвями вверх, решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.
Решим второе условие: $x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$.
Теперь необходимо объединить эти условия: из множества $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$ нужно исключить точку $x = -4$.
Точка -4 принадлежит промежутку $(-\infty, -1]$, поэтому этот промежуток разбивается на два: $(-\infty, -4)$ и $(-4, -1]$. Промежуток $[0, +\infty)$ остается без изменений.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -1] \cup [0, +\infty)$.