Номер 1.10, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.10, страница 7.

Условие.

1.10 Найдите область изменения функции:

а) $y = \sqrt{1 - x^2};$

б) $y = \sqrt{1 - x^2}, X = \left[0; \frac{\sqrt{3}}{2}\right];$

в) $y = \sqrt{1 - x^2}, X = \left[-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right);$

г) $y = \frac{30}{\sqrt{100 - x^2}}, X = [-8; 1];$

д) $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, X = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right);$

е) $y = \log_{2} \sqrt{x^2 - 1};$

ж) $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, X = \left[-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right];$

з) $y = \log_{2} \sqrt{1 - x^2}.$

Решение 1.

Решение 4.

а)

Функция $y = \sqrt{1 - x^2}$ определена, когда подкоренное выражение неотрицательно: $1 - x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 1$, что дает область определения $D(y) = [-1; 1]$.
Чтобы найти область изменения (множество значений) функции, проанализируем выражение $1 - x^2$. Поскольку $x \in [-1; 1]$, то $x^2$ принимает значения из отрезка $[0; 1]$.
Следовательно, выражение $1 - x^2$ принимает значения из отрезка $[1 - 1; 1 - 0] = [0; 1]$.
Так как функция квадратного корня является возрастающей, то для $t = 1 - x^2 \in [0; 1]$, значения $y = \sqrt{t}$ будут находиться в отрезке $[\sqrt{0}; \sqrt{1}]$, то есть $[0; 1]$.
Графиком функции является верхняя половина окружности $x^2+y^2=1$, что также показывает, что $y$ изменяется от 0 до 1.

Ответ: $E(y) = [0; 1]$.

б)

Дана функция $y = \sqrt{1 - x^2}$ на отрезке $X = [0; \frac{\sqrt{3}}{2}]$.
На этом отрезке функция $x^2$ является возрастающей. Значит, функция $1-x^2$ является убывающей, а функция $y = \sqrt{1-x^2}$ (как композиция возрастающей и убывающей) также является убывающей.
Чтобы найти область значений непрерывной монотонной функции на отрезке, достаточно найти её значения на концах этого отрезка.
При $x=0$: $y(0) = \sqrt{1 - 0^2} = \sqrt{1} = 1$.
При $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $y(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Поскольку функция убывает, её значения на отрезке $[0; \frac{\sqrt{3}}{2}]$ будут находиться в отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}; 1]$.

в)

Дана функция $y = \sqrt{1 - x^2}$ на промежутке $X = [-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.
На этом промежутке функция не является монотонной. На отрезке $[-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0]$ она возрастает, а на полуинтервале $[0; 1)$ она убывает. Точка $x=0$ является точкой максимума.
Найдем значения функции в ключевых точках:
При $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $y(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
При $x = 0$: $y(0) = \sqrt{1 - 0^2} = 1$. Это максимальное значение функции.
Рассмотрим поведение функции при $x$, стремящемся к правому концу промежутка: при $x \to 1^-$, выражение $1 - x^2 \to 0^+$, следовательно $y = \sqrt{1 - x^2} \to 0$. Так как $x=1$ не входит в промежуток, значение 0 не достигается.
Объединяя результаты, получаем, что функция принимает все значения от 0 (не включая) до 1 (включая).

Ответ: $E(y) = (0; 1]$.

г)

Дана функция $y = \frac{30}{\sqrt{100 - x^2}}$ на отрезке $X = [-8; 1]$.
Рассмотрим сначала множество значений подкоренного выражения $100 - x^2$. На отрезке $x \in [-8; 1]$, выражение $x^2$ принимает значения от $0$ (при $x=0$) до $64$ (при $x=-8$). Таким образом, $x^2 \in [0; 64]$.
Тогда выражение $100 - x^2$ принимает значения на отрезке $[100 - 64; 100 - 0] = [36; 100]$.
Следовательно, знаменатель $\sqrt{100 - x^2}$ принимает значения на отрезке $[\sqrt{36}; \sqrt{100}] = [6; 10]$.
Функция $y(z) = \frac{30}{z}$ является убывающей. Если ее аргумент $z = \sqrt{100-x^2}$ принимает значения из отрезка $[6; 10]$, то сама функция $y$ принимает значения из отрезка $[\frac{30}{10}; \frac{30}{6}] = [3; 5]$.

Ответ: $E(y) = [3; 5]$.

д)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ на интервале $X = (-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$.
На интервале $(-1; 0)$ функция $x^2$ убывает, значит $1-x^2$ возрастает, $\sqrt{1-x^2}$ возрастает, и, следовательно, обратная ей функция $y(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ убывает.
Найдем предельные значения функции на концах интервала:
При $x \to -\frac{\sqrt{2}}{2}^+$ (справа): $y \to \frac{1}{\sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{1/2}} = \sqrt{2}$.
При $x \to 0^-$ (слева): $y \to \frac{1}{\sqrt{1 - 0^2}} = 1$.
Так как функция непрерывна и монотонно убывает на открытом интервале, ее область изменения — это открытый интервал между предельными значениями.

Ответ: $E(y) = (1; \sqrt{2})$.

е)

Для функции $y = \log_2 \sqrt{x^2 - 1}$ сначала найдем область определения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\sqrt{x^2 - 1} > 0$, что эквивалентно $x^2 - 1 > 0$, или $x^2 > 1$. Отсюда $D(y) = (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.
Пусть $t = \sqrt{x^2 - 1}$. Найдем множество значений, которые может принимать $t$.
При $x \to \pm\infty$, выражение $x^2 - 1 \to +\infty$, и $t \to +\infty$.
При $x \to 1^+$ или $x \to -1^-$, выражение $x^2 - 1 \to 0^+$, и $t \to 0^+$.
Таким образом, аргумент логарифма $t$ принимает все значения из интервала $(0; +\infty)$.
Функция $y = \log_2 t$ является возрастающей. Когда ее аргумент $t$ пробегает интервал $(0; +\infty)$, значение логарифма пробегает интервал $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

ж)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ на отрезке $X = [-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$.
Рассмотрим множество значений знаменателя $\sqrt{1 - x^2}$. На отрезке $x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$, выражение $x^2$ принимает значения от $0$ (при $x=0$) до $(\pm\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$. То есть, $x^2 \in [0; \frac{3}{4}]$.
Тогда $1 - x^2$ принимает значения из отрезка $[1 - \frac{3}{4}; 1 - 0] = [\frac{1}{4}; 1]$.
Знаменатель $\sqrt{1 - x^2}$ принимает значения из отрезка $[\sqrt{\frac{1}{4}}; \sqrt{1}] = [\frac{1}{2}; 1]$.
Так как функция $y(z) = \frac{1}{z}$ убывающая, то при $z \in [\frac{1}{2}; 1]$ значения функции $y$ будут находиться в отрезке $[\frac{1}{1}; \frac{1}{1/2}] = [1; 2]$.

Ответ: $E(y) = [1; 2]$.

з)

Для функции $y = \log_2 \sqrt{1 - x^2}$ найдем область определения: $\sqrt{1 - x^2} > 0$, что означает $1 - x^2 > 0$, или $x^2 < 1$. Отсюда $D(y) = (-1; 1)$.
Пусть $t = \sqrt{1 - x^2}$. Найдем множество значений $t$. На интервале $x \in (-1; 1)$, выражение $x^2$ принимает значения из промежутка $[0; 1)$.
Тогда $1 - x^2$ принимает значения из промежутка $(0; 1]$.
Следовательно, $t = \sqrt{1-x^2}$ принимает значения из промежутка $(0; 1]$.
Функция $y = \log_2 t$ является возрастающей. Когда ее аргумент $t$ пробегает промежуток $(0; 1]$, значение $y$ изменяется от $\lim_{t \to 0^+} \log_2 t = -\infty$ до $\log_2 1 = 0$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0]$.