Номер 1.12, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.12, страница 8.

Условие.

1.12 Покажите, что на полной области определения функция:

а) $y = x^2$ не является ограниченной сверху;

б) $y = \frac{1}{x^2}$ не является ограниченной снизу;

в) $y = \log_2 x$ не является ограниченной.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Функция $y = x^2$. Полная область определения этой функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $y(x) \le M$.

Чтобы показать, что функция $y=x^2$ не является ограниченной сверху, нужно доказать, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, найдется такое значение аргумента $x$, при котором значение функции будет больше $M$, то есть $x^2 > M$.

Докажем это от противного. Предположим, что функция $y=x^2$ ограничена сверху. Это означает, что существует такое число $M$, что для всех $x \in \mathbb{R}$ выполняется $x^2 \le M$.

Рассмотрим произвольное действительное число $M$.

Если $M \le 0$, мы можем взять, например, $x=1$. Тогда $y(1) = 1^2 = 1 > M$. Неравенство $x^2 \le M$ не выполняется.

Если $M > 0$, выберем значение $x = \sqrt{M} + 1$. Это действительное число, оно входит в область определения. Тогда значение функции в этой точке будет $y = (\sqrt{M} + 1)^2 = M + 2\sqrt{M} + 1$. Поскольку $M > 0$, то $2\sqrt{M} + 1 > 0$, и, следовательно, $M + 2\sqrt{M} + 1 > M$. То есть мы нашли такое значение $x$, что $y(x) > M$.

Таким образом, для любого числа $M$ мы можем найти такое $x$, что $x^2 > M$. Это противоречит предположению о том, что функция ограничена сверху. Следовательно, функция $y=x^2$ не является ограниченной сверху на своей полной области определения.

Ответ: Для любого числа $M$ можно выбрать $x$ (например, $x=\sqrt{|M|}+1$), такое, что $x^2 > M$, что доказывает неограниченность функции сверху.

б)

Функция $y = -\frac{1}{x^2}$. Полная область определения этой функции — все действительные числа, кроме нуля, то есть $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $y(x) \ge m$.

Чтобы показать, что функция $y = -\frac{1}{x^2}$ не является ограниченной снизу, нужно доказать, что для любого, сколь угодно малого (большого по модулю отрицательного) числа $m$, найдется такое значение аргумента $x$, при котором значение функции будет меньше $m$, то есть $-\frac{1}{x^2} < m$.

Пусть $m$ — произвольное число. Если $m \ge 0$, мы можем взять $x=1$, и тогда $y(1) = -1 < m$, неравенство выполняется.

Рассмотрим случай, когда $m < 0$. Нам нужно найти такое $x \ne 0$, чтобы выполнялось неравенство:
$-\frac{1}{x^2} < m$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{1}{x^2} > -m$

Поскольку $m < 0$, то $-m > 0$. Перевернем дроби, снова изменив знак неравенства (это возможно, т.к. обе части положительны):
$x^2 < \frac{1}{-m}$

Так как правая часть $\frac{1}{-m}$ положительна, мы можем выбрать $x$ достаточно близко к нулю, чтобы это неравенство выполнялось. Например, выберем $x$ такое, что $x^2 = \frac{1}{2(-m)}$, то есть $x = \frac{1}{\sqrt{-2m}}$. Такое $x$ существует и не равно нулю, так как $m<0$.

Поскольку $m < 0$, то $-m > 0$ и $2(-m) > -m$. Так как обе части положительны, то $\frac{1}{2(-m)} < \frac{1}{-m}$. Таким образом, $x^2 = \frac{1}{-2m} < \frac{1}{-m}$, что и требовалось.

Следовательно, для любого числа $m$ мы можем найти такое $x \ne 0$, что $-\frac{1}{x^2} < m$. Функция не является ограниченной снизу.

Ответ: Для любого числа $m<0$ можно выбрать $x$ (например, $x = \frac{1}{\sqrt{-2m}}$), такое, что $-\frac{1}{x^2} < m$, что доказывает неограниченность функции снизу.

в)

Функция $y = \log_2 x$. Полная область определения этой функции — все положительные действительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Чтобы показать, что функция не является ограниченной, мы докажем, что она не ограничена ни сверху, ни снизу.

1. Неограниченность сверху.
Нужно показать, что для любого числа $M$ существует такое $x > 0$, что $\log_2 x > M$.
По определению логарифма, неравенство $\log_2 x > M$ эквивалентно неравенству $x > 2^M$ (так как основание логарифма $2 > 1$).
Для любого действительного числа $M$ число $2^M$ является положительным. Мы всегда можем выбрать $x$, которое больше $2^M$. Например, возьмем $x = 2^{M+1}$. Это число положительно и входит в область определения.
Тогда $y(x) = \log_2(2^{M+1}) = M+1$. Так как $M+1 > M$, мы нашли $x$, для которого значение функции больше $M$.
Следовательно, функция $y = \log_2 x$ не ограничена сверху.

2. Неограниченность снизу.
Нужно показать, что для любого числа $m$ существует такое $x > 0$, что $\log_2 x < m$.
По определению логарифма, неравенство $\log_2 x < m$ эквивалентно неравенству $x < 2^m$.
Так как нам нужно, чтобы $x$ входил в область определения, мы должны выбрать $x$ из интервала $(0, 2^m)$. Для любого действительного $m$ число $2^m$ положительно, поэтому такой интервал не пуст.
Мы можем выбрать, например, $x = 2^{m-1}$. Это число очевидно находится в интервале $(0, 2^m)$, так как $0 < 2^{m-1} < 2^m$.
Тогда $y(x) = \log_2(2^{m-1}) = m-1$. Так как $m-1 < m$, мы нашли $x$, для которого значение функции меньше $m$.
Следовательно, функция $y = \log_2 x$ не ограничена снизу.

Поскольку функция $y = \log_2 x$ не ограничена ни сверху, ни снизу, она не является ограниченной.

Ответ: Для любого $M$ можно взять $x=2^{M+1}$, тогда $y(x)=M+1>M$ (неограниченность сверху). Для любого $m$ можно взять $x=2^{m-1}$, тогда $y(x)=m-1<m$ (неограниченность снизу). Следовательно, функция не является ограниченной.