Номер 1.7, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.7, страница 7.

Условие.

1.7 Докажите, что функция $y = 1-x$ ограничена на множестве $X = [-1; 1]$.

Решение 1.

Решение 4.

Чтобы доказать, что функция $y = 1 - x$ ограничена на множестве $X = [-1; 1]$, необходимо показать, что существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого $x \in [-1; 1]$ выполняется двойное неравенство $m \le y(x) \le M$.

Данная функция является линейной. Ее производная $y' = (1-x)' = -1$. Так как производная отрицательна на всей числовой оси, функция является монотонно убывающей.

Для монотонной функции на замкнутом отрезке (каковым является $[-1; 1]$), ее наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах этого отрезка.

Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x = -1$ (левая граница):
$y(-1) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

При $x = 1$ (правая граница):
$y(1) = 1 - 1 = 0$.

Поскольку функция монотонно убывает, ее наибольшее значение на отрезке $[-1; 1]$ равно $2$, а наименьшее — $0$.

Таким образом, для любого $x \in [-1; 1]$ справедливо неравенство $0 \le 1 - x \le 2$.

Мы нашли числа $m=0$ и $M=2$, которые ограничивают функцию снизу и сверху соответственно на заданном множестве. Следовательно, по определению, функция $y = 1 - x$ ограничена на множестве $X = [-1; 1]$.

Ответ: Функция $y=1-x$ на множестве $X=[-1; 1]$ является ограниченной, так как для любого $x$ из этого множества выполняется неравенство $0 \le y \le 2$.