Номер 1.3, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.3, страница 4.

Условие.

1.3 Выпишите основные элементарные функции $f(x)$, $g(x)$ и $\varphi(x)$, с помощью которых задана сложная функция:

a) $f(g(\varphi(x))) = \sin \sqrt{x^3}$;

б) $f(g(\varphi(x))) = (\sqrt{\sin x})^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $f(g(\phi(x))) = \sin\sqrt{x^3}$

Чтобы определить основные элементарные функции, из которых состоит данная сложная функция, необходимо проанализировать порядок выполнения операций. Композиция функций $f(g(\phi(x)))$ означает, что сначала к аргументу $x$ применяется функция $\phi$, затем к результату $\phi(x)$ применяется функция $g$, и, наконец, к результату $g(\phi(x))$ применяется функция $f$.

1. Внутренняя функция $\phi(x)$: Первое действие, которое выполняется над $x$ — это возведение в третью степень. Таким образом, внутренняя функция — это степенная функция $\phi(x) = x^3$.

2. Средняя функция $g(x)$: Следующее действие — это извлечение квадратного корня из результата предыдущего шага ($x^3$). Значит, средняя функция — это $g(u) = \sqrt{u}$.

3. Внешняя функция $f(x)$: Последнее действие — это вычисление синуса от результата предыдущего шага ($\sqrt{x^3}$). Следовательно, внешняя функция — это тригонометрическая функция $f(v) = \sin v$.

Проверим нашу композицию: $f(g(\phi(x))) = f(g(x^3)) = f(\sqrt{x^3}) = \sin\sqrt{x^3}$. Это совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = \sin x$, $g(x) = \sqrt{x}$, $\phi(x) = x^3$.

б) $f(g(\phi(x))) = (\sqrt{\sin x})^3$

Аналогично разложим на элементарные функции, следуя порядку операций.

1. Внутренняя функция $\phi(x)$: Первое действие, выполняемое над $x$ — это вычисление синуса. Таким образом, $\phi(x) = \sin x$.

2. Средняя функция $g(x)$: Следующее действие — извлечение квадратного корня из $\sin x$. Значит, $g(u) = \sqrt{u}$.

3. Внешняя функция $f(x)$: Последнее действие — возведение результата ($\sqrt{\sin x}$) в третью степень. Следовательно, $f(v) = v^3$.

Проверим композицию: $f(g(\phi(x))) = f(g(\sin x)) = f(\sqrt{\sin x}) = (\sqrt{\sin x})^3$. Это совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = x^3$, $g(x) = \sqrt{x}$, $\phi(x) = \sin x$.