Номер 1.9, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.9, страница 7.

Условие.

1.9 a) $y = \log_2 |x|;$

б) $y = |\log_2 x|;$

в) $y = \log_2 \text{tg } x;$

г) $y = 2^{\sqrt{x}};$

д) $y = \sqrt{2^x};$

е) $y = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2}.$

Решение 1.

Решение 4.

а) Область определения логарифмической функции — это множество всех значений аргумента, при которых выражение под знаком логарифма строго положительно. В данном случае аргументом является $|x|$, поэтому должно выполняться неравенство:

$|x| > 0$

Модуль любого числа, отличного от нуля, является положительным числом. Модуль нуля равен нулю. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) Область определения данной функции определяется областью определения выражения, стоящего под знаком модуля, то есть функции $y = \log_2 x$. Знак модуля на область определения не влияет.

Для функции $y = \log_2 x$ выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$x > 0$

Таким образом, область определения функции — это все положительные действительные числа.

Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$

в) Область определения данной функции задается двумя условиями:
1. Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $\tg x > 0$.
2. Функция тангенса должна быть определена, то есть $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство $\tg x > 0$. Функция тангенса положительна в первой и третьей координатных четвертях. Учитывая периодичность тангенса (период равен $\pi$), решениями неравенства будут интервалы:

$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этих интервалах условие $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ уже выполняется, так как концы интервалов не включены.

Ответ: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$

г) Показательная функция $y = a^z$ определена для любого действительного показателя $z$. В данном случае основание степени равно 2, а показатель — $\sqrt{x}$. Следовательно, область определения всей функции совпадает с областью определения выражения в показателе степени.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$

д) Область определения функции $y = \sqrt{f(x)}$ задается условием $f(x) \ge 0$. В данном случае подкоренное выражение — это $2^x$.

Необходимо решить неравенство:

$2^x \ge 0$

Показательная функция $y=a^x$ с основанием $a>1$ (в нашем случае $a=2$) принимает только строго положительные значения ($2^x > 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, неравенство $2^x \ge 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

е) Данная функция представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых содержит квадратный корень. Область определения функции — это пересечение областей определения каждого слагаемого. Для существования квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.
Из первого неравенства $x^2 \ge 1$, получаем $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Из второго неравенства $1 \ge x^2$, или $x^2 \le 1$, получаем $x \in [-1; 1]$.

Теперь найдем пересечение этих двух множеств. Единственные значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, — это $x = -1$ и $x = 1$. В этих точках оба подкоренных выражения равны нулю.

Ответ: $D(y) = \{-1; 1\}$