Номер 1.13, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.13, страница 8.

Условие.

1.13 Докажите, что если функция $y = f(x)$, определённая на множестве $X$, ограничена и сверху, и снизу на этом множестве, то она ограничена на этом множестве.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства нам необходимо воспользоваться определениями функции, ограниченной сверху, снизу, и просто ограниченной функции.

Определение 1. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху на множестве $X$, если существует такое число $M$, что для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Определение 2. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Определение 3. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной на множестве $X$, если существует такое положительное число $C > 0$, что для любого $x \in X$ выполняется неравенство $|f(x)| \le C$. Неравенство $|f(x)| \le C$ равносильно двойному неравенству $-C \le f(x) \le C$.

Доказательство.

Пусть функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$ и по условию задачи она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу.

Так как функция $f(x)$ ограничена сверху, то по определению 1 существует такое число $M$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство:
$f(x) \le M$

Так как функция $f(x)$ ограничена снизу, то по определению 2 существует такое число $m$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство:
$f(x) \ge m$

Эти два неравенства можно объединить в одно двойное неравенство, которое справедливо для любого $x \in X$:
$m \le f(x) \le M$

Наша цель — доказать, что функция $f(x)$ ограничена. Согласно определению 3, для этого нужно найти такое число $C > 0$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство $|f(x)| \le C$.

Рассмотрим модули чисел $m$ и $M$, то есть $|m|$ и $|M|$. Выберем число $C_0$ как наибольшее из этих двух значений:
$C_0 = \max(|m|, |M|)$

Теперь покажем, что это число (или близкое к нему) подходит под определение ограниченной функции.

С одной стороны, для любого $x \in X$:
$f(x) \le M \le |M|$
Так как $|M| \le \max(|m|, |M|)$, то получаем:
$f(x) \le C_0$

С другой стороны, для любого $x \in X$:
$f(x) \ge m \ge -|m|$
Так как $-|m| \ge -\max(|m|, |M|)$, то получаем:
$f(x) \ge -C_0$

Объединив последние два результата, мы получаем, что для любого $x \in X$ выполняется двойное неравенство:
$-C_0 \le f(x) \le C_0$

Это неравенство, как было отмечено в определении 3, эквивалентно неравенству $|f(x)| \le C_0$.

Осталось убедиться, что мы можем выбрать положительное число $C$.

1. Если хотя бы одно из чисел $m$ или $M$ не равно нулю, то $C_0 = \max(|m|, |M|)$ будет строго положительным числом. В этом случае мы можем взять $C = C_0$, и условие $C > 0$ будет выполнено.
2. Если и $m = 0$, и $M = 0$, то это означает, что для всех $x \in X$ выполняется $0 \le f(x) \le 0$, то есть $f(x) \equiv 0$. В этом случае $|f(x)| = 0$. Мы можем выбрать любое положительное число $C$, например, $C=1$. Тогда неравенство $|f(x)| \le C$ примет вид $0 \le 1$, что является верным.

Таким образом, в любом случае мы показали, что существует такое положительное число $C$, что для всех $x \in X$ выполняется $|f(x)| \le C$. Следовательно, по определению 3, функция $f(x)$ является ограниченной на множестве $X$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если функция $f(x)$ ограничена сверху числом $M$ и снизу числом $m$, то для любого $x$ из области определения выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$. Выбрав число $C$ так, чтобы оно было не меньше, чем $\max(|m|, |M|)$ и при этом было положительным (например, $C = \max(|m|, |M|) + 1$), мы получаем, что $-C \le f(x) \le C$ для всех $x \in X$. Это неравенство эквивалентно $|f(x)| \le C$, что по определению означает, что функция $f(x)$ ограничена на множестве $X$.