Номер 3.3, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.3, страница 75.

Условие.

3.3 В данной формуле замените x на y, y на x, затем выразите из полученной формулы y через x:

а) $y = 3x + 1$;

б) $y = 2x - 8$;

в) $y = x^2, x \in [0; 3]$;

г) $y = -x^2, x \in [0; 3]$;

д) $y = 8x^3$;

е) $y = 0.5\sqrt{x}, x \in [0; 25]$;

ж) $y = 3^x$;

з) $y = \log_5 x, x \in (0; 25)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходная формула: $y = 3x + 1$.
1. Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $x = 3y + 1$.
2. Выражаем $y$ из полученного уравнения:
$3y = x - 1$
$y = \frac{x - 1}{3}$
Ответ: $y = \frac{x - 1}{3}$.

б) Исходная формула: $y = 2x - 8$.
1. Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $x = 2y - 8$.
2. Выражаем $y$ из полученного уравнения:
$2y = x + 8$
$y = \frac{x + 8}{2}$
Ответ: $y = \frac{x + 8}{2}$.

в) Исходная формула: $y = x^2$, при $x \in [0; 3]$. Область значений исходной функции: $y \in [0; 9]$.
1. Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $x = y^2$. Для новой функции область определения $x \in [0; 9]$, а область значений $y \in [0; 3]$.
2. Выражаем $y$ из полученного уравнения: $y = \pm\sqrt{x}$.
3. Так как область значений для $y$ - это отрезок $[0; 3]$ (то есть $y \ge 0$), выбираем неотрицательный корень.
Ответ: $y = \sqrt{x}$.

г) Исходная формула: $y = -x^2$, при $x \in [0; 3]$. Область значений исходной функции: $y \in [-9; 0]$.
1. Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $x = -y^2$. Для новой функции область определения $x \in [-9; 0]$, а область значений $y \in [0; 3]$.
2. Выражаем $y$ из полученного уравнения: $y^2 = -x$, откуда $y = \pm\sqrt{-x}$.
3. Так как область значений для $y$ - это отрезок $[0; 3]$ (то есть $y \ge 0$), выбираем неотрицательный корень.
Ответ: $y = \sqrt{-x}$.

д) Исходная формула: $y = 8x^3$.
1. Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $x = 8y^3$.
2. Выражаем $y$ из полученного уравнения:
$y^3 = \frac{x}{8}$
$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}} = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$
Ответ: $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$.

е) Исходная формула: $y = 0,5\sqrt{x}$, при $x \in [0; 25]$. Область значений исходной функции: $y \in [0; 2,5]$.
1. Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $x = 0,5\sqrt{y}$. Для новой функции область определения $x \in [0; 2,5]$, а область значений $y \in [0; 25]$.
2. Выражаем $y$ из полученного уравнения:
$\sqrt{y} = 2x$
Возводим обе части в квадрат: $y = (2x)^2 = 4x^2$.
Ответ: $y = 4x^2$.

ж) Исходная формула: $y = 3^x$.
1. Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $x = 3^y$.
2. Выражаем $y$ из полученного уравнения, используя определение логарифма: $y = \log_3 x$.
Ответ: $y = \log_3 x$.

з) Исходная формула: $y = \log_5 x$, при $x \in (0; 25)$.
1. Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $x = \log_5 y$.
2. Выражаем $y$ из полученного уравнения, используя определение логарифма: если $a = \log_b c$, то $c = b^a$.
$y = 5^x$
Ответ: $y = 5^x$.