Номер 3.9, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

3.9 а) $y = \sqrt{4 - x^2}, x \in [-2; 0];$

б) $y = \sqrt{4 - x^2}, x \in [0; 2];$

в) $y = \sqrt{21 - x^2 + 4x}, x \in [-3; 2];$

г) $y = 4 + \sqrt{16 - x^2 + 6x}, x \in [3; 8];$

д) $y = 8x^3;$

е) $y = 0,5\sqrt{x};$

ж) $y = 3^{x-1};$

з) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1};$

и) $y = \log_5(x + 2);$

к) $y = \log_{0,2}(x - 1).$

а) и б) Полуокружности

Уравнение $y = \sqrt{4 - x^2}$ при возведении в квадрат дает $y^2 + x^2 = 4$. Это окружность с центром в точке $(0;0)$ и радиусом $R=2$. Так как перед корнем стоит "+", берем только верхнюю часть.

• а) При $x \in [-2; 0]$ — это левая верхняя четверть окружности.
• б) При $x \in [0; 2]$ — это правая верхняя четверть окружности.

в) и г) Смещенные полуокружности

Здесь нужно выделить полный квадрат под корнем:

• в) $21 - (x^2 - 4x + 4) + 4 = 25 - (x - 2)^2$. Это верхняя полуокружность с центром в $(2; 0)$ и $R=5$. На интервале $x \in [-3; 2]$ мы видим её левую часть.
• г) $16 - (x^2 - 6x + 9) + 9 = 25 - (x - 3)^2$. Это верхняя полуокружность с центром в $(3; 4)$ (из-за +4 перед корнем) и $R=5$. На интервале $x \in [3; 8]$ мы видим её правую часть.

д) и е) Степенные функции

• д) $y = 8x^3$: Кубическая парабола, сильно "прижатая" к оси $y$ из-за коэффициента 8. Проходит через точки $(0;0)$, $(1;8)$, $(-1;-8)$.
• е) $y = 0,5\sqrt{x}$: Ветвь параболы, направленная вправо. Коэффициент 0,5 делает её в два раза "ниже" стандартного графика $\sqrt{x}$.

ж) и з) Показательные функции

• ж) $y = 3^{x-1}$: Возрастающая функция. График $y=3^x$ сдвинут на 1 единицу вправо.
• з) $y = (1/3)^{x-1}$: Убывающая функция. Сдвинута на 1 единицу вправо.

и) и к) Логарифмические функции

• и) $y = \log_5(x + 2)$: Возрастает (основание 5 > 1). Вертикальная асимптота $x = -2$. Сдвиг графика $\log_5 x$ на 2 единицы влево.
• к) $y = \log_{0,2}(x - 1)$: Убывает (основание 0,2 < 1). Вертикальная асимптота $x = 1$. Сдвиг на 1 единицу вправо.