Номер 3.9, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.9, страница 78.

Условие.

3.9 а) $y = \sqrt{4 - x^2}, x \in [-2; 0];$

б) $y = \sqrt{4 - x^2}, x \in [0; 2];$

в) $y = \sqrt{21 - x^2 + 4x}, x \in [-3; 2];$

г) $y = 4 + \sqrt{16 - x^2 + 6x}, x \in [3; 8];$

д) $y = 8x^3;$

е) $y = 0,5\sqrt{x};$

ж) $y = 3^{x-1};$

з) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1};$

и) $y = \log_5(x + 2);$

к) $y = \log_{0,2}(x - 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходная функция: $y = \sqrt{4 - x^2}$ с областью определения $D(y) = [-2; 0]$.Чтобы найти обратную функцию, сначала определим область значений исходной функции. График функции $y = \sqrt{4 - x^2}$ — это верхняя полуокружность $x^2 + y^2 = 4$ с центром в $(0, 0)$ и радиусом $2$. Поскольку $x \in [-2; 0]$, мы рассматриваем левую верхнюю четверть этой окружности. При $x = -2$, $y = \sqrt{4 - (-2)^2} = 0$. При $x = 0$, $y = \sqrt{4 - 0^2} = 2$. На этом интервале функция монотонно возрастает. Следовательно, область значений $E(y) = [0; 2]$.
Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \sqrt{4 - x^2}$. Так как $y \ge 0$, можно возвести обе части в квадрат:$y^2 = 4 - x^2$$x^2 = 4 - y^2$$x = \pm\sqrt{4 - y^2}$Из условия $x \in [-2; 0]$ следует, что $x \le 0$, поэтому выбираем знак «минус»:$x = -\sqrt{4 - y^2}$Для получения обратной функции меняем местами $x$ и $y$:$y = -\sqrt{4 - x^2}$Областью определения обратной функции является область значений исходной, то есть $x \in [0; 2]$.
Ответ: $y = -\sqrt{4 - x^2}, x \in [0; 2]$.

б) Исходная функция: $y = \sqrt{4 - x^2}$ с областью определения $D(y) = [0; 2]$.Это правая верхняя четверть окружности $x^2 + y^2 = 4$. При $x = 0$, $y=2$. При $x=2$, $y=0$. На этом интервале функция монотонно убывает. Область значений $E(y) = [0; 2]$.
Выразим $x$ через $y$:$y^2 = 4 - x^2$$x^2 = 4 - y^2$$x = \pm\sqrt{4 - y^2}$Из условия $x \in [0; 2]$ следует, что $x \ge 0$, поэтому выбираем знак «плюс»:$x = \sqrt{4 - y^2}$Меняем местами $x$ и $y$:$y = \sqrt{4 - x^2}$Область определения обратной функции: $x \in [0; 2]$.
Ответ: $y = \sqrt{4 - x^2}, x \in [0; 2]$.

в) Исходная функция: $y=\sqrt{21 - x^2 + 4x}$ с областью определения $D(y) = [-3; 2]$.Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат: $21 - x^2 + 4x = -(x^2 - 4x - 21) = -(x^2 - 4x + 4 - 25) = 25 - (x - 2)^2$.Функция принимает вид $y = \sqrt{25 - (x - 2)^2}$. График — часть верхней полуокружности $(x-2)^2+y^2=25$ с центром в $(2, 0)$ и радиусом $5$.Найдём область значений на отрезке $x \in [-3; 2]$. При $x=-3$, $y=\sqrt{25 - (-3-2)^2} = 0$. При $x=2$, $y=\sqrt{25 - (2-2)^2} = 5$. На данном отрезке функция возрастает. Область значений $E(y) = [0; 5]$.
Выразим $x$ через $y$:$y^2 = 25 - (x - 2)^2$$(x-2)^2 = 25 - y^2$$x-2 = \pm\sqrt{25 - y^2}$Так как $x \in [-3; 2]$, то $x-2 \le 0$, поэтому выбираем знак «минус»:$x-2 = -\sqrt{25 - y^2} \implies x = 2 - \sqrt{25 - y^2}$Меняем местами $x$ и $y$:$y = 2 - \sqrt{25 - x^2}$Область определения обратной функции: $x \in [0; 5]$.
Ответ: $y = 2 - \sqrt{25 - x^2}, x \in [0; 5]$.

г) Исходная функция: $y = 4 + \sqrt{16 - x^2 + 6x}$ с областью определения $D(y) = [3; 8]$.Преобразуем подкоренное выражение: $16 - x^2 + 6x = -(x^2 - 6x - 16) = -(x^2 - 6x + 9 - 25) = 25 - (x - 3)^2$.Функция имеет вид $y = 4 + \sqrt{25 - (x - 3)^2}$. Это часть верхней полуокружности $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$, с центром в $(3, 4)$ и радиусом $5$.Найдём область значений на отрезке $x \in [3; 8]$. При $x=3$, $y=4+\sqrt{25}=9$. При $x=8$, $y=4+\sqrt{25-(8-3)^2}=4$. На данном отрезке функция убывает. Область значений $E(y) = [4; 9]$.
Выразим $x$ через $y$:$y - 4 = \sqrt{25 - (x - 3)^2}$$(y - 4)^2 = 25 - (x - 3)^2$$(x - 3)^2 = 25 - (y - 4)^2$$x - 3 = \pm\sqrt{25 - (y - 4)^2}$Так как $x \in [3; 8]$, то $x-3 \ge 0$, поэтому выбираем знак «плюс»:$x - 3 = \sqrt{25 - (y - 4)^2} \implies x = 3 + \sqrt{25 - (y - 4)^2}$Меняем местами $x$ и $y$:$y = 3 + \sqrt{25 - (x - 4)^2}$Область определения обратной функции: $x \in [4; 9]$.
Ответ: $y = 3 + \sqrt{25 - (