Номер 3.12, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.12, страница 79.
№3.12 (с. 79)
Условие. №3.12 (с. 79)
скриншот условия

3.12 Функция $y = f(x)$ задана на отрезке $[a; b]$. На каком отрезке задана обратная к ней функция $y = \varphi (x)$, если функция $y = f(x)$:
а) возрастает на отрезке $[a; b];$
б) убывает на отрезке $[a; b]$?
Решение 1. №3.12 (с. 79)


Решение 2. №3.12 (с. 79)

Решение 4. №3.12 (с. 79)
а) возрастает на отрезке $[a; b]$
Пусть функция $y = f(x)$ определена и возрастает на отрезке $[a; b]$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[a; b]$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
Областью определения функции $y = f(x)$ является отрезок $D(f) = [a; b]$. Областью определения обратной функции $y = \phi(x)$ является область значений исходной функции $y = f(x)$. Обозначим ее $E(f)$.
Чтобы найти область значений функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$, воспользуемся свойством возрастающей функции. На заданном отрезке возрастающая функция принимает свое наименьшее значение на левом конце отрезка, то есть в точке $x = a$, а наибольшее — на правом конце, в точке $x = b$.
Следовательно, для любого $x$ из отрезка $[a; b]$ справедливо двойное неравенство: $f(a) \le f(x) \le f(b)$.
Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это отрезок $E(f) = [f(a); f(b)]$.
Так как область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то обратная функция $y = \phi(x)$ задана на отрезке $[f(a); f(b)]$.
Ответ: $[f(a); f(b)]$
б) убывает на отрезке $[a; b]$
Пусть функция $y = f(x)$ определена и убывает на отрезке $[a; b]$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[a; b]$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
Областью определения функции $y = f(x)$ является отрезок $D(f) = [a; b]$. Область определения обратной функции $y = \phi(x)$ совпадает с областью значений исходной функции $y = f(x)$.
Найдем область значений $E(f)$ функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$. Так как функция убывает, она принимает свое наибольшее значение на левом конце отрезка, в точке $x = a$, а наименьшее — на правом конце, в точке $x = b$.
Следовательно, для любого $x$ из отрезка $[a; b]$ справедливо двойное неравенство: $f(b) \le f(x) \le f(a)$.
Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это отрезок $E(f) = [f(b); f(a)]$.
Так как область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то обратная функция $y = \phi(x)$ задана на отрезке $[f(b); f(a)]$.
Ответ: $[f(b); f(a)]$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.12 расположенного на странице 79 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.12 (с. 79), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.