Номер 3.12, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 3. Обратные функции - номер 3.12, страница 79.

Условие.

3.12 Функция $y = f(x)$ задана на отрезке $[a; b]$. На каком отрезке задана обратная к ней функция $y = \varphi (x)$, если функция $y = f(x)$:

а) возрастает на отрезке $[a; b];$

б) убывает на отрезке $[a; b]$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) возрастает на отрезке $[a; b]$

Пусть функция $y = f(x)$ определена и возрастает на отрезке $[a; b]$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[a; b]$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Областью определения функции $y = f(x)$ является отрезок $D(f) = [a; b]$. Областью определения обратной функции $y = \phi(x)$ является область значений исходной функции $y = f(x)$. Обозначим ее $E(f)$.

Чтобы найти область значений функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$, воспользуемся свойством возрастающей функции. На заданном отрезке возрастающая функция принимает свое наименьшее значение на левом конце отрезка, то есть в точке $x = a$, а наибольшее — на правом конце, в точке $x = b$.

Следовательно, для любого $x$ из отрезка $[a; b]$ справедливо двойное неравенство: $f(a) \le f(x) \le f(b)$.

Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это отрезок $E(f) = [f(a); f(b)]$.

Так как область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то обратная функция $y = \phi(x)$ задана на отрезке $[f(a); f(b)]$.

Ответ: $[f(a); f(b)]$

б) убывает на отрезке $[a; b]$

Пусть функция $y = f(x)$ определена и убывает на отрезке $[a; b]$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[a; b]$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Областью определения функции $y = f(x)$ является отрезок $D(f) = [a; b]$. Область определения обратной функции $y = \phi(x)$ совпадает с областью значений исходной функции $y = f(x)$.

Найдем область значений $E(f)$ функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$. Так как функция убывает, она принимает свое наибольшее значение на левом конце отрезка, в точке $x = a$, а наименьшее — на правом конце, в точке $x = b$.

Следовательно, для любого $x$ из отрезка $[a; b]$ справедливо двойное неравенство: $f(b) \le f(x) \le f(a)$.

Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это отрезок $E(f) = [f(b); f(a)]$.

Так как область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то обратная функция $y = \phi(x)$ задана на отрезке $[f(b); f(a)]$.

Ответ: $[f(b); f(a)]$