Страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

3.10 Докажите, что угловые коэффициенты взаимно обратных линейных функций $y = k_1x + l_1$ и $y = k_2x + l_2$ ($k_1 \neq 0, k_2 \neq 0$) связаны соотношением $k_2 = \frac{1}{k_1}$.

Пусть даны две взаимно обратные линейные функции: $f(x) = y = k_1x + l_1$ и $g(x) = y = k_2x + l_2$.

По определению, две функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными, если их композиция является тождественной функцией, то есть $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$, и $f(g(y)) = y$ для всех $y$ из области определения $g$.

Воспользуемся одним из этих условий, например, $g(f(x)) = x$.

Найдем композицию функций $g(f(x))$. Для этого подставим выражение для $f(x)$ в функцию $g(x)$ вместо ее аргумента:

$g(f(x)) = k_2 \cdot (f(x)) + l_2 = k_2(k_1x + l_1) + l_2$

Теперь раскроем скобки в полученном выражении:

$k_2(k_1x + l_1) + l_2 = k_1k_2x + k_2l_1 + l_2$

Так как $g(f(x)) = x$, мы получаем следующее тождество, которое должно выполняться для любого значения $x$:

$k_1k_2x + k_2l_1 + l_2 = x$

Это равенство можно переписать в виде $k_1k_2x + (k_2l_1 + l_2) = 1 \cdot x + 0$.

Два многочлена (в данном случае, линейные функции) тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной. Приравнивая коэффициенты при $x$ и свободные члены, получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} k_1k_2 = 1 \\ k_2l_1 + l_2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения системы, учитывая, что по условию $k_1 \neq 0$, мы можем выразить $k_2$:

$k_2 = \frac{1}{k_1}$

Это и есть доказываемое соотношение между угловыми коэффициентами взаимно обратных линейных функций. Что и требовалось доказать.

Ответ: Соотношение $k_2 = \frac{1}{k_1}$ доказано путем приравнивания коэффициентов в тождестве $g(f(x)) = x$.

3.11 Приведите пример функции, обратной самой себе.

Функция $f(x)$ называется обратной самой себе (или инволюцией), если она является своей собственной обратной функцией, то есть $f^{-1}(x) = f(x)$. Это условие эквивалентно тождеству $f(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения функции. Геометрически график такой функции симметричен относительно прямой $y=x$.

Ниже приведено несколько примеров таких функций.

Пример 1: Функция $f(x) = \frac{1}{x}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x}$. Её область определения $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Чтобы найти для нее обратную функцию, в уравнении $y = \frac{1}{x}$ выразим $x$ через $y$. Получаем $x = \frac{1}{y}$.

Теперь, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, поменяем местами переменные $x$ и $y$: $y = \frac{1}{x}$. Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.

Можно также проверить выполнение тождества $f(f(x)) = x$:$f(f(x)) = f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1/x} = x$.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x}$.

Пример 2: Функция $f(x) = c - x$

Рассмотрим функцию $f(x) = c - x$, где $c$ – произвольная действительная константа. Область определения этой функции $D(f) = \mathbb{R}$.

Найдем обратную функцию. Из уравнения $y = c - x$ выражаем $x$: $x = c - y$.

Меняем местами $x$ и $y$ и получаем $y = c - x$. Следовательно, $f^{-1}(x) = c - x$, что равносильно $f^{-1}(x) = f(x)$.

Проверим тождество $f(f(x)) = x$:$f(f(x)) = f(c-x) = c - (c-x) = c - c + x = x$.

Частным, но очень распространенным случаем является функция $f(x) = -x$ (здесь $c=0$).

Ответ: $f(x) = c - x$ (где $c$ - любая константа).

Пример 3: Тождественная функция $f(x) = x$

Это самый простой пример. Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$.

Если $y=x$, то и $x=y$. Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x)=x$, что совпадает с исходной $f(x)$.

Проверка тождества: $f(f(x)) = f(x) = x$.

Ответ: $f(x) = x$.

3.12 Функция $y = f(x)$ задана на отрезке $[a; b]$. На каком отрезке задана обратная к ней функция $y = \varphi (x)$, если функция $y = f(x)$:

а) возрастает на отрезке $[a; b];$

б) убывает на отрезке $[a; b]$?

а) возрастает на отрезке $[a; b]$

Пусть функция $y = f(x)$ определена и возрастает на отрезке $[a; b]$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[a; b]$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Областью определения функции $y = f(x)$ является отрезок $D(f) = [a; b]$. Областью определения обратной функции $y = \phi(x)$ является область значений исходной функции $y = f(x)$. Обозначим ее $E(f)$.

Чтобы найти область значений функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$, воспользуемся свойством возрастающей функции. На заданном отрезке возрастающая функция принимает свое наименьшее значение на левом конце отрезка, то есть в точке $x = a$, а наибольшее — на правом конце, в точке $x = b$.

Следовательно, для любого $x$ из отрезка $[a; b]$ справедливо двойное неравенство: $f(a) \le f(x) \le f(b)$.

Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это отрезок $E(f) = [f(a); f(b)]$.

Так как область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то обратная функция $y = \phi(x)$ задана на отрезке $[f(a); f(b)]$.

Ответ: $[f(a); f(b)]$

б) убывает на отрезке $[a; b]$

Пусть функция $y = f(x)$ определена и убывает на отрезке $[a; b]$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[a; b]$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Областью определения функции $y = f(x)$ является отрезок $D(f) = [a; b]$. Область определения обратной функции $y = \phi(x)$ совпадает с областью значений исходной функции $y = f(x)$.

Найдем область значений $E(f)$ функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$. Так как функция убывает, она принимает свое наибольшее значение на левом конце отрезка, в точке $x = a$, а наименьшее — на правом конце, в точке $x = b$.

Следовательно, для любого $x$ из отрезка $[a; b]$ справедливо двойное неравенство: $f(b) \le f(x) \le f(a)$.

Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это отрезок $E(f) = [f(b); f(a)]$.

Так как область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то обратная функция $y = \phi(x)$ задана на отрезке $[f(b); f(a)]$.

Ответ: $[f(b); f(a)]$

3.13 Функция $y = f(x)$ задана на интервале $(a; b)$. На каком интервале задана обратная к ней функция $y = \phi(x)$, если функция $y = f(x)$:

a) возрастает на интервале $(a; b)$;

б) убывает на интервале $(a; b)$?

По определению, область определения $D(\phi)$ обратной функции $y = \phi(x)$ совпадает с областью значений $E(f)$ исходной функции $y = f(x)$. Для существования обратной функции на интервале, функция должна быть на нем строго монотонной (возрастающей или убывающей), что и дано в условии. Таким образом, наша задача — найти область значений функции $f(x)$ в каждом из двух случаев.

а) функция $y = f(x)$ возрастает на интервале $(a; b)$
Если функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(a; b)$, то для любых $x_1, x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Это означает, что по мере того, как аргумент $x$ увеличивается от $a$ до $b$, значение функции $f(x)$ также увеличивается. Самые малые значения функция будет принимать вблизи точки $a$, а самые большие — вблизи точки $b$. Поскольку интервал $(a; b)$ открытый, функция не достигает своих точных нижней и верхней граней, а лишь стремится к ним. Таким образом, область значений $E(f)$ — это открытый интервал, ограниченный предельными значениями функции на концах ее области определения:

• Нижняя граница (инфимум) множества значений: $A = \lim_{x \to a^+} f(x)$
• Верхняя граница (супремум) множества значений: $B = \lim_{x \to b^-} f(x)$

Так как $f(x)$ возрастает, $A < B$. Область значений $E(f)$ есть интервал $(A; B)$. Следовательно, область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с $E(f)$.
Ответ: обратная функция $y=\phi(x)$ задана на интервале $(\lim_{x \to a^+} f(x); \lim_{x \to b^-} f(x))$.

б) функция $y = f(x)$ убывает на интервале $(a; b)$
Если функция $f(x)$ строго убывает на интервале $(a; b)$, то для любых $x_1, x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$. Это означает, что по мере того, как аргумент $x$ увеличивается от $a$ до $b$, значение функции $f(x)$ уменьшается. Самые большие значения функция будет принимать вблизи точки $a$, а самые малые — вблизи точки $b$. Область значений $E(f)$ также будет открытым интервалом, ограниченным предельными значениями:

• Нижняя граница (инфимум) множества значений: $B = \lim_{x \to b^-} f(x)$
• Верхняя граница (супремум) множества значений: $A = \lim_{x \to a^+} f(x)$

Так как $f(x)$ убывает, $A > B$. Область значений $E(f)$ есть интервал $(B; A)$. Следовательно, область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с $E(f)$.
Ответ: обратная функция $y=\phi(x)$ задана на интервале $(\lim_{x \to b^-} f(x); \lim_{x \to a^+} f(x))$.

3.14 На рисунке 85, а—г дан график функции $y = f(x)$. Постройте в той же системе координат график функции $y = \varphi(x)$, обратной к функции $y = f(x)$.

а)

б)

в)

г)

Рис. 85

Для построения графика функции $y = \phi(x)$, обратной к функции $y = f(x)$, необходимо отразить график функции $y = f(x)$ симметрично относительно прямой $y=x$. Это означает, что каждой точке $(a, b)$ на графике $y = f(x)$ соответствует точка $(b, a)$ на графике $y = \phi(x)$. Мы найдем координаты ключевых точек на каждом из данных графиков, поменяем их местами и построим по ним графики обратных функций.

а)

Исходный график функции $y = f(x)$ представляет собой отрезок прямой. Найдем координаты его концов. Концы отрезка находятся в точках $(-3, 0)$ и $(0, 2)$. Для построения графика обратной функции $y = \phi(x)$ поменяем местами координаты $x$ и $y$ для этих точек. Получим точки $(0, -3)$ и $(2, 0)$. График обратной функции $y = \phi(x)$ — это отрезок прямой, соединяющий эти новые точки.

Ответ: График функции $y=\phi(x)$ — это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -3)$ и $(2, 0)$.

б)

Исходный график функции $y = f(x)$ — это кривая. Найдем координаты ее концов. Концы кривой находятся в точках $(-1, 0)$ и $(3, 2)$. Для построения графика обратной функции $y = \phi(x)$ поменяем местами координаты $x$ и $y$ для этих точек. Получим точки $(0, -1)$ и $(2, 3)$. График обратной функции $y = \phi(x)$ — это кривая, симметричная исходной относительно прямой $y=x$, которая соединяет точки $(0, -1)$ и $(2, 3)$. Исходная кривая похожа на график функции квадратного корня, следовательно, обратная функция будет похожа на ветвь параболы.

Ответ: График функции $y=\phi(x)$ — это кривая, соединяющая точки $(0, -1)$ и $(2, 3)$, являющаяся отражением исходного графика относительно прямой $y=x$.

в)

Исходный график функции $y = f(x)$ — это кривая с концами в точках $(1, -1)$ и $(3, 1)$. Для построения графика обратной функции $y = \phi(x)$ поменяем местами координаты $x$ и $y$. Получим точки $(-1, 1)$ и $(1, 3)$. График обратной функции $y = \phi(x)$ — это кривая, симметричная исходной относительно прямой $y=x$, которая соединяет точки $(-1, 1)$ и $(1, 3)$. Аналогично предыдущему пункту, обратная функция будет похожа на ветвь параболы.

Ответ: График функции $y=\phi(x)$ — это кривая, соединяющая точки $(-1, 1)$ и $(1, 3)$, являющаяся отражением исходного графика относительно прямой $y=x$.

г)

Исходный график функции $y = f(x)$ представляет собой отрезок прямой. Его концы находятся в точках $(-2, 2)$ и $(1, -1)$. Для построения графика обратной функции $y = \phi(x)$ поменяем местами координаты $x$ и $y$. Получим точки $(2, -2)$ и $(-1, 1)$. График обратной функции $y = \phi(x)$ — это отрезок прямой, соединяющий эти новые точки. Стоит отметить, что исходная прямая проходит через точку $(0,0)$, и ее уравнение $y=-x$. Обратная функция также имеет уравнение $y=-x$, но определена на другом отрезке.

Ответ: График функции $y=\phi(x)$ — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 1)$ и $(2, -2)$.