Номер 3.10, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 3. Обратные функции - номер 3.10, страница 79.

Условие.

3.10 Докажите, что угловые коэффициенты взаимно обратных линейных функций $y = k_1x + l_1$ и $y = k_2x + l_2$ ($k_1 \neq 0, k_2 \neq 0$) связаны соотношением $k_2 = \frac{1}{k_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть даны две взаимно обратные линейные функции: $f(x) = y = k_1x + l_1$ и $g(x) = y = k_2x + l_2$.

По определению, две функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными, если их композиция является тождественной функцией, то есть $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$, и $f(g(y)) = y$ для всех $y$ из области определения $g$.

Воспользуемся одним из этих условий, например, $g(f(x)) = x$.

Найдем композицию функций $g(f(x))$. Для этого подставим выражение для $f(x)$ в функцию $g(x)$ вместо ее аргумента:

$g(f(x)) = k_2 \cdot (f(x)) + l_2 = k_2(k_1x + l_1) + l_2$

Теперь раскроем скобки в полученном выражении:

$k_2(k_1x + l_1) + l_2 = k_1k_2x + k_2l_1 + l_2$

Так как $g(f(x)) = x$, мы получаем следующее тождество, которое должно выполняться для любого значения $x$:

$k_1k_2x + k_2l_1 + l_2 = x$

Это равенство можно переписать в виде $k_1k_2x + (k_2l_1 + l_2) = 1 \cdot x + 0$.

Два многочлена (в данном случае, линейные функции) тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной. Приравнивая коэффициенты при $x$ и свободные члены, получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} k_1k_2 = 1 \\ k_2l_1 + l_2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения системы, учитывая, что по условию $k_1 \neq 0$, мы можем выразить $k_2$:

$k_2 = \frac{1}{k_1}$

Это и есть доказываемое соотношение между угловыми коэффициентами взаимно обратных линейных функций. Что и требовалось доказать.

Ответ: Соотношение $k_2 = \frac{1}{k_1}$ доказано путем приравнивания коэффициентов в тождестве $g(f(x)) = x$.