Номер 3.4, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.4, страница 75.

Условие.

3.4 Найдите функцию $x = \varphi (y)$, обратную к данной функции $y = f (x)$, и постройте графики обеих функций в одной системе координат:

а) $y = x^2$, $x \in [-1; 0];$

б) $y = x^3$, $x \in [0; 2];$

в) $y = \frac{1}{1+x}$, $x \in [0; +\infty);$

г) $y = \frac{1}{1+x}$, $x \in (-\infty; -2);$

д) $y = 6x + 5$, $x \in (-\infty; +\infty);$

е) $y = -x + 1$, $x \in (-\infty; +\infty).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = x^2, x \in [-1; 0]$

Исходная функция $y = f(x) = x^2$ задана на области определения $D(f) = [-1; 0]$. На этом промежутке функция является монотонно убывающей.

Найдем область значений $E(f)$ данной функции. Поскольку $x \in [-1; 0]$, значения $y=x^2$ будут изменяться от $f(-1) = (-1)^2 = 1$ до $f(0) = 0^2 = 0$. Таким образом, область значений $E(f) = [0; 1]$.

Чтобы найти обратную функцию $x = \phi(y)$, выразим $x$ из уравнения $y=x^2$. Получаем $x = \pm\sqrt{y}$. Согласно области определения исходной функции, $x \in [-1; 0]$, то есть $x \le 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак "минус": $x = -\sqrt{y}$.

Итак, обратная функция $x = \phi(y) = -\sqrt{y}$. Её область определения $D(\phi)$ совпадает с областью значений исходной функции, то есть $D(\phi) = [0; 1]$.

Для построения графиков:

• График $y = x^2$ на отрезке $x \in [-1; 0]$ — это левая ветвь стандартной параболы от точки $(-1, 1)$ до начала координат $(0, 0)$.
• График обратной функции $x = -\sqrt{y}$ на отрезке $y \in [0; 1]$ (что эквивалентно графику $y = -\sqrt{x}$ на $x \in [0; 1]$) — это нижняя часть параболы, открывающейся вправо, от точки $(0, 0)$ до точки $(1, -1)$.
• Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $x = -\sqrt{y}$, её область определения $y \in [0; 1]$.

б) $y = x^3, x \in [0; 2]$

Исходная функция $y = f(x) = x^3$ задана на области определения $D(f) = [0; 2]$. На этом промежутке функция является монотонно возрастающей.

Область значений $E(f)$ для $x \in [0; 2]$ находится в пределах от $f(0) = 0^3 = 0$ до $f(2) = 2^3 = 8$. Таким образом, $E(f) = [0; 8]$.

Найдём обратную функцию, выразив $x$ из уравнения $y=x^3$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x = \sqrt[3]{y}$.

Обратная функция $x = \phi(y) = \sqrt[3]{y}$. Её область определения $D(\phi) = E(f) = [0; 8]$.

Для построения графиков:

• График $y = x^3$ на отрезке $x \in [0; 2]$ — это часть кубической параболы от точки $(0, 0)$ до точки $(2, 8)$, проходящая через $(1, 1)$.
• График обратной функции $x = \sqrt[3]{y}$ на отрезке $y \in [0; 8]$ (эквивалентно $y = \sqrt[3]{x}$ на $x \in [0; 8]$) — это график функции кубического корня от $(0, 0)$ до $(8, 2)$.
• Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $x = \sqrt[3]{y}$, её область определения $y \in [0; 8]$.

в) $y = \frac{1}{1+x}, x \in [0; +\infty)$

Исходная функция $y = f(x) = \frac{1}{1+x}$ задана на $D(f) = [0; +\infty)$. На этом промежутке функция монотонно убывает.

Найдем область значений $E(f)$. При $x=0$, $y=1$. При $x \to +\infty$, знаменатель $1+x \to +\infty$, и $y \to 0$. Таким образом, $E(f) = (0; 1]$.

Найдём обратную функцию, выразив $x$ из $y = \frac{1}{1+x}$. Так как $y \ne 0$, можно написать $1+x = \frac{1}{y}$, откуда $x = \frac{1}{y} - 1$.

Обратная функция $x = \phi(y) = \frac{1}{y} - 1$. Её область определения $D(\phi) = E(f) = (0; 1]$.

Для построения графиков:

• График $y = \frac{1}{1+x}$ на $x \in [0; +\infty)$ — это часть гиперболы, начинающаяся в точке $(0, 1)$ и асимптотически приближающаяся к оси $Ox$ ($y=0$).
• График обратной функции $x = \frac{1}{y} - 1$ на $y \in (0; 1]$ (эквивалентно $y = \frac{1}{x} - 1$ на $x \in (0; 1]$) — это также часть гиперболы, которая начинается в точке $(1, 0)$ и уходит вверх, асимптотически приближаясь к оси $Oy$ ($x=0$).
• Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $x = \frac{1}{y} - 1$, её область определения $y \in (0; 1]$.

г) $y = \frac{1}{1+x}, x \in (-\infty; -2)$

Исходная функция $y = f(x) = \frac{1}{1+x}$ задана на $D(f) = (-\infty; -2)$. На этом промежутке функция монотонно убывает (вертикальная асимптота $x=-1$ не входит в область определения).

Найдем область значений $E(f)$. При $x \to -2$ (слева), $y \to \frac{1}{1-2} = -1$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$ (значения $y$ отрицательны). Таким образом, $E(f) = (-1; 0)$.

Алгебраическое выражение для обратной функции такое же, как и в пункте в): $x = \frac{1}{y} - 1$.

Обратная функция $x = \phi(y) = \frac{1}{y} - 1$. Её область определения $D(\phi) = E(f) = (-1; 0)$.

Для построения графиков:

• График $y = \frac{1}{1+x}$ на $x \in (-\infty; -2)$ — это часть гиперболы, расположенная в третьей четверти (относительно смещенного центра $(-1, 0)$), которая идет от оси $Ox$ (асимптота $y=0$) до точки $(-2, -1)$.
• График обратной функции $x = \frac{1}{y} - 1$ на $y \in (-1; 0)$ (эквивалентно $y = \frac{1}{x} - 1$ на $x \in (-1; 0)$) — это часть гиперболы, которая идет от точки $(-1, -2)$ и уходит вниз к $-\infty$, асимптотически приближаясь к оси $Oy$ ($x=0$).
• Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $x = \frac{1}{y} - 1$, её область определения $y \in (-1; 0)$.

д) $y = 6x + 5, x \in (-\infty; +\infty)$

Исходная функция $y = f(x) = 6x+5$ — линейная, определена на всей числовой оси $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Её область значений также вся числовая ось $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Выразим $x$ из уравнения $y = 6x + 5$: $6x = y - 5$ $x = \frac{y-5}{6}$

Обратная функция $x = \phi(y) = \frac{1}{6}y - \frac{5}{6}$. Её область определения $D(\phi) = (-\infty; +\infty)$.

Для построения графиков:

• График $y = 6x+5$ — прямая линия с угловым коэффициентом 6, проходящая через точку $(0, 5)$.
• График обратной функции $x = \frac{1}{6}y - \frac{5}{6}$ (эквивалентно $y = \frac{1}{6}x - \frac{5}{6}$) — прямая линия с угловым коэффициентом $1/6$, проходящая через точку $(0, -5/6)$.
• Прямые симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов ($y=x$).

Ответ: обратная функция $x = \frac{y-5}{6}$, её область определения $y \in (-\infty; +\infty)$.

е) $y = -x + 1, x \in (-\infty; +\infty)$

Исходная функция $y = f(x) = -x+1$ — линейная, с $D(f) = (-\infty; +\infty)$ и $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Выразим $x$ из уравнения $y = -x + 1$: $x = 1 - y$ $x = -y + 1$

Обратная функция $x = \phi(y) = -y + 1$. Её область определения $D(\phi) = (-\infty; +\infty)$. Интересно, что обратная функция имеет тот же вид, что и исходная. Такие функции называются самообратными.

Для построения графиков:

• График $y = -x+1$ — прямая линия с угловым коэффициентом -1, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.
• График обратной функции $x = -y+1$ совпадает с графиком исходной функции.
• График функции $y=-x+1$ симметричен сам себе относительно прямой $y=x$, так как он перпендикулярен этой прямой и пересекает ее в точке $(0.5, 0.5)$.

Ответ: обратная функция $x = -y + 1$, её область определения $y \in (-\infty; +\infty)$.