Номер 6.6.1, страница 135 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.6.1. Оцените верхний и нижний пределы энергии рентгеновского излучения, считая, что диапазон рентгеновских лучей лежит в пределе $\lambda \approx 5 \cdot 10^{-12} - 6 \cdot 10^{-9}$ м. (Ответ: $\approx 207$ эВ $- 2,5 \cdot 10^5$ эВ.)

Дано:

Диапазон длин волн рентгеновского излучения: $λ \approx 5 \cdot 10^{-12} \text{ м} - 6 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Минимальная длина волны: $λ_{min} = 5 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Максимальная длина волны: $λ_{max} = 6 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Постоянная Планка: $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Элементарный заряд: $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (для перевода в электрон-вольты)

Найти:

Нижний предел энергии $E_{min}$ и верхний предел энергии $E_{max}$.

Решение:

Энергия фотона $E$ связана с его длиной волны $λ$ формулой Планка:

$E = \frac{hc}{λ}$

Из этой формулы следует, что энергия фотона обратно пропорциональна его длине волны. Это означает, что максимальной длине волны ($λ_{max}$) соответствует минимальная энергия ($E_{min}$), а минимальной длине волны ($λ_{min}$) — максимальная энергия ($E_{max}$).

1. Найдем нижний предел энергии ($E_{min}$), который соответствует максимальной длине волны $λ_{max} = 6 \cdot 10^{-9} \text{ м}$.

$E_{min} = \frac{hc}{λ_{max}} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{6 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \approx 3.313 \cdot 10^{-17} \text{ Дж}$

Чтобы перевести энергию из джоулей в электрон-вольты (эВ), разделим полученное значение на величину элементарного заряда $e$:

$E_{min} (\text{эВ}) = \frac{3.313 \cdot 10^{-17} \text{ Дж}}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 206.8 \text{ эВ}$

Округляя, получаем $E_{min} \approx 207 \text{ эВ}$.

2. Найдем верхний предел энергии ($E_{max}$), который соответствует минимальной длине волны $λ_{min} = 5 \cdot 10^{-12} \text{ м}$.

$E_{max} = \frac{hc}{λ_{min}} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{5 \cdot 10^{-12} \text{ м}} \approx 3.976 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}$

Переведем это значение в электрон-вольты:

$E_{max} (\text{эВ}) = \frac{3.976 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 248165 \text{ эВ} \approx 2.48 \cdot 10^5 \text{ эВ}$

Округляя до двух значащих цифр, как в условии, получаем $E_{max} \approx 2.5 \cdot 10^5 \text{ эВ}$.

Таким образом, диапазон энергий рентгеновского излучения составляет примерно от 207 эВ до $2.5 \cdot 10^5$ эВ.

Ответ: нижний предел энергии $\approx 207$ эВ, верхний предел энергии $\approx 2.5 \cdot 10^5$ эВ.