Номер 9.5.2, страница 205 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

9.5.2. Можно ли увидеть на небе невооруженным глазом Туманность Андромеды, если расстояние до нее составляет $5 \cdot 10^5$ пк, а линейный диаметр $3,5 \cdot 10^4$ пк? Разрешающая способность глаза составляет $2'$. (Ответ: можно.)

Дано:

Расстояние до Туманности Андромеды, $L = 5 \cdot 10^5$ пк

Линейный диаметр туманности, $D = 3.5 \cdot 10^4$ пк

Разрешающая способность глаза, $\theta = 2'$

$L = 5 \cdot 10^5 \text{ пк} \approx 1.54 \cdot 10^{22}$ м (где 1 пк $\approx 3.086 \cdot 10^{16}$ м)

$D = 3.5 \cdot 10^4 \text{ пк} \approx 1.08 \cdot 10^{21}$ м

$\theta = 2' = (\frac{2}{60})^\circ$; в радианах (единица СИ для угла): $\theta = \frac{1}{30} \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx 5.8 \cdot 10^{-4}$ рад.

Найти:

Можно ли увидеть туманность невооруженным глазом?

Решение:

Чтобы определить, можно ли увидеть объект невооруженным глазом, необходимо сравнить его видимый угловой размер $\alpha$ с разрешающей способностью глаза $\theta$. Объект будет различим, если его угловой размер превышает разрешающую способность: $\alpha > \theta$.

Угловой диаметр $\alpha$ Туманности Андромеды можно рассчитать по формуле для малых углов (результат будет в радианах):

$\alpha \approx \frac{D}{L}$

Подставим числовые значения. Для этого расчета не обязательно переводить парсеки в метры, так как единицы измерения расстояния и диаметра одинаковы и сокращаются.

$\alpha = \frac{3.5 \cdot 10^4 \text{ пк}}{5 \cdot 10^5 \text{ пк}} = \frac{3.5}{50} = 0.07$ рад

Теперь сравним полученный угловой диаметр с разрешающей способностью глаза. Для этого переведем $\alpha$ в угловые минуты, так как $\theta$ дана в этих единицах.

Связь между радианами и угловыми минутами: $1 \text{ рад} = \frac{180}{\pi}$ градусов, а $1$ градус = $60$ минут. Следовательно, $1 \text{ рад} \approx 57.3^\circ \cdot 60' /^\circ \approx 3438'$.

$\alpha \approx 0.07 \cdot 3438' \approx 240.66'$

Округлим результат: $\alpha \approx 241'$.

Теперь сравним угловой размер туманности с разрешающей способностью глаза:

$\alpha \approx 241'$, а $\theta = 2'$.

Так как $241' > 2'$, угловой размер Туманности Андромеды значительно превосходит разрешающую способность человеческого глаза. Это означает, что при достаточной яркости и в условиях темного неба туманность можно не только увидеть, но и различить как протяженный объект, а не как звезду-точку.

Ответ: да, Туманность Андромеды можно увидеть невооруженным глазом, так как ее угловой диаметр (приблизительно $241'$) значительно больше разрешающей способности глаза ($2'$).