Практическое задание, страница 7, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

Возьмем маленький шарик со сквозным отверстием, через это отверстие привяжем шарик к концу тонкой прочной нити длиной около 50 см и будем вращать его, взявшись за второй конец нити. Экран расположим в плоскости, перпендикулярной плоскости окружности. Установку будем освещать, как показано на рисунке (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Поскольку в условии задачи не сформулирован конкретный вопрос, проанализируем движение тени шарика на экране, определим его характер и найдем основные параметры этого движения.

Дано:

Длина нити, $L = 50 \text{ см}$

Угловая скорость вращения шарика, $\omega_0$

Перевод в систему СИ:

$L = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Закон движения тени $x(t)$

Амплитуду колебаний тени $\text{A}$

Период колебаний тени $\text{T}$

Частоту колебаний тени $\nu$

Решение:

Шарик, привязанный к нити, совершает равномерное движение по окружности радиусом $\text{R}$, равным длине нити $\text{L}$. Установка освещается параллельным пучком света, который направлен параллельно плоскости вращения шарика. Экран расположен перпендикулярно этой плоскости. В такой конфигурации тень шарика на экране будет являться проекцией движения шарика на прямую (ось $\text{x}$ на экране).

Проекция равномерного движения по окружности на любую прямую, лежащую в плоскости этой окружности, представляет собой гармоническое колебание. В нашем случае, поскольку свет падает перпендикулярно экрану и параллельно плоскости вращения, движение тени по оси $\text{x}$ на экране будет в точности описывать движение проекции шарика.

Введем систему координат. Пусть центр окружности $\text{C}$ совпадает с началом координат, а ось $\text{x}$, вдоль которой движется тень, лежит в плоскости вращения. Тогда координата шарика вдоль этой оси в любой момент времени $\text{t}$ будет изменяться по закону:

$x(t) = R \cos(\omega t + \phi_0)$

где $\text{R}$ — радиус окружности, $\omega$ — угловая частота колебаний, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Из условий задачи:

1. Радиус окружности $\text{R}$ равен длине нити $\text{L}$.

2. Угловая частота колебаний тени $\omega$ равна угловой скорости вращения шарика $\omega_0$.

Таким образом, уравнение движения тени на экране имеет вид:

$x(t) = L \cos(\omega_0 t + \phi_0)$

Это уравнение описывает простое гармоническое колебание (SHM). Выберем начало отсчета времени ($t=0$) так, чтобы в этот момент шарик находился в точке $\text{B}$ (максимальное удаление от центра $\text{O}$ в положительном направлении оси $\text{x}$), тогда начальная фаза $\phi_0 = 0$. Уравнение упрощается:

$x(t) = L \cos(\omega_0 t)$

Теперь найдем характеристики этого колебательного движения:

Амплитуда колебаний (A) — это максимальное смещение от положения равновесия (точки $\text{O}$). Из уравнения видно, что максимальное значение $x(t)$ равно $\text{L}$.

$A = L = 0.5 \text{ м}$

Период колебаний (T) — время одного полного колебания. Он связан с угловой частотой соотношением:

$T = \frac{2\pi}{\omega_0}$

Период колебаний тени равен периоду обращения шарика по окружности.

Частота колебаний (ν) — число полных колебаний в единицу времени. Она является величиной, обратной периоду:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega_0}{2\pi}$

Частота колебаний тени равна частоте вращения шарика.

Таким образом, тень шарика на экране совершает гармонические колебания с амплитудой, равной длине нити, и с частотой, равной частоте вращения шарика.

Ответ: Движение тени на экране является гармоническим колебанием. Закон движения тени (при выборе $t=0$ в крайнем положении): $x(t) = 0.5 \cos(\omega_0 t)$ (в метрах). Амплитуда колебаний: $A = 0.5 \text{ м}$. Период колебаний: $T = \frac{2\pi}{\omega_0}$. Частота колебаний: $\nu = \frac{\omega_0}{2\pi}$.