Номер 7, страница 11, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

7. Как изменяются скорость и ускорение материальной точки в процессе гармонических колебаний?

Решение:

Гармонические колебания — это колебания, при которых физическая величина (в данном случае координата материальной точки $\text{x}$) изменяется со временем по синусоидальному или косинусоидальному закону. Уравнение движения материальной точки, совершающей гармонические колебания вдоль оси $\text{x}$ около положения равновесия $x=0$, имеет вид:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $\text{A}$ — амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия), $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $\text{t}$ — время, а $(\omega t + \phi_0)$ — фаза колебаний ($\phi_0$ — начальная фаза).

Чтобы определить, как изменяются скорость и ускорение, необходимо найти первую и вторую производные от координаты по времени.

Изменение скорости

Скорость ($\text{v}$) материальной точки является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

$v(t) = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t + \phi_0)) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$

Из этой формулы следует, что скорость также изменяется по гармоническому закону с той же частотой $\omega$, но со сдвигом фазы на $\pi/2$ (90°) относительно смещения. Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равно $v_{max} = A\omega$.

• Когда точка проходит положение равновесия ($x = 0$), ее скорость максимальна по модулю: $|v| = v_{max} = A\omega$.

• Когда точка достигает крайних положений (максимального отклонения, $x = \pm A$), ее скорость становится равной нулю ($v = 0$).

Изменение ускорения

Ускорение ($\text{a}$) материальной точки является первой производной от скорости (или второй производной от координаты) по времени: $a(t) = v'(t) = x''(t)$.

$a(t) = \frac{d}{dt}(-A\omega \sin(\omega t + \phi_0)) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$

Ускорение также изменяется по гармоническому закону с той же частотой $\omega$. Сравнивая формулы для ускорения и координаты, мы видим, что $a(t) = -\omega^2 x(t)$. Это означает, что ускорение всегда пропорционально смещению и направлено в сторону, противоположную смещению (то есть к положению равновесия). Фаза ускорения и фаза смещения отличаются на $\pi$ (180°), то есть они находятся в противофазе. Максимальное значение ускорения (амплитуда ускорения) равно $a_{max} = A\omega^2$.

• Когда точка проходит положение равновесия ($x = 0$), ее ускорение равно нулю ($a=0$).

• Когда точка находится в крайних положениях ($x = \pm A$), ее ускорение максимально по модулю $|a| = a_{max} = A\omega^2$ и направлено к положению равновесия.

Ответ:

В процессе гармонических колебаний скорость и ускорение материальной точки также изменяются по гармоническому закону с той же частотой, что и смещение. Скорость максимальна по модулю при прохождении положения равновесия и равна нулю в точках максимального отклонения. Ускорение максимально по модулю в точках максимального отклонения (и всегда направлено к положению равновесия) и равно нулю в положении равновесия. Колебания скорости опережают по фазе колебания смещения на $\pi/2$, а колебания ускорения находятся в противофазе со смещением (сдвиг фаз равен $\pi$).