Практическое задание, страница 11, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. Из приведенного на рисунке 1.6 графика определите амплитуду, период и частоту, начальную фазу колебаний.

2. Напишите уравнение колебаний.

3. Из уравнения колебаний получите уравнения колебаний скорости и ускорения.

4. Определите амплитудные значения скорости и ускорения.

5. Постройте графики уравнений: $v = v(t)$ и $a = a(t)$.

Рис. 1.6

Дано:

Из графика колебаний (Рис. 1.6):

Амплитуда $A = 10$ см

Период $T = 4$ с

Перевод в систему СИ: $A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$ $T = 4 \text{ с}$

Найти:

1. Амплитуду $\text{A}$, период $\text{T}$, частоту $\nu$, начальную фазу $\varphi_0$.

2. Уравнение колебаний $x(t)$.

3. Уравнения скорости $v(t)$ и ускорения $a(t)$.

4. Амплитудные значения скорости $v_{max}$ и ускорения $a_{max}$.

5. Построить графики $v(t)$ и $a(t)$.

Решение:

1. Из приведенного на рисунке 1.6 графика определите амплитуду, период и частоту, начальную фазу колебаний.

Амплитуда колебаний ($\text{A}$) — это максимальное отклонение от положения равновесия. По графику видно, что максимальное значение координаты $\text{x}$ равно 10 см, следовательно, $A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Период колебаний ($\text{T}$) — время, за которое совершается одно полное колебание. Из графика видно, что одно полное колебание (например, от $t=0$ до $t=4$) занимает 4 секунды. Таким образом, $T = 4 \text{ с}$.

Частота колебаний ($\nu$) — число колебаний в единицу времени. Она связана с периодом соотношением $\nu = 1/T$. $\nu = \frac{1}{4 \text{ с}} = 0.25 \text{ Гц}$.

Начальная фаза ($\varphi_0$) определяется из общего вида уравнения колебаний $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$. В начальный момент времени $t=0$ смещение $x(0) = 0$. Подставив это в уравнение, получим: $0 = A \sin(0 + \varphi_0)$, откуда $\sin(\varphi_0)=0$. Это возможно, если $\varphi_0 = 0$ или $\varphi_0 = \pi$.

Чтобы выбрать правильное значение, посмотрим на начальную скорость. На графике видно, что при $t=0$ координата начинает увеличиваться, значит, проекция скорости на ось $\text{x}$ положительна ($v_x > 0$). Скорость является производной от координаты: $v(t) = x'(t) = A\omega \cos(\omega t + \varphi_0)$. При $t=0$, $v(0) = A\omega \cos(\varphi_0) > 0$. Так как $A > 0$ и $\omega > 0$, то и $\cos(\varphi_0)$ должен быть больше нуля. Этому условию удовлетворяет значение $\varphi_0 = 0$.

Ответ: Амплитуда $A = 0.1$ м, период $T = 4$ с, частота $\nu = 0.25$ Гц, начальная фаза $\varphi_0 = 0$ рад.

2. Напишите уравнение колебаний.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$.

Найдем циклическую (круговую) частоту $\omega$: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с}$.

Подставим значения $A=0.1$ м, $\omega = \pi/2$ рад/с и $\varphi_0=0$ в уравнение: $x(t) = 0.1 \sin(\frac{\pi}{2} t)$.

Ответ: Уравнение колебаний в системе СИ: $x(t) = 0.1 \sin(\frac{\pi}{2} t)$.

3. Из уравнения колебаний получите уравнения колебаний скорости и ускорения.

Скорость $v(t)$ является первой производной от координаты $x(t)$ по времени: $v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt} \left(0.1 \sin(\frac{\pi}{2} t)\right) = 0.1 \cdot \cos(\frac{\pi}{2} t) \cdot \frac{\pi}{2} = 0.05\pi \cos(\frac{\pi}{2} t)$.

Ускорение $a(t)$ является первой производной от скорости $v(t)$ по времени (или второй производной от координаты): $a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} \left(0.05\pi \cos(\frac{\pi}{2} t)\right) = 0.05\pi \cdot \left(-\sin(\frac{\pi}{2} t)\right) \cdot \frac{\pi}{2} = -0.025\pi^2 \sin(\frac{\pi}{2} t)$.

Ответ: Уравнение скорости: $v(t) = 0.05\pi \cos(\frac{\pi}{2} t)$ (в м/с). Уравнение ускорения: $a(t) = -0.025\pi^2 \sin(\frac{\pi}{2} t)$ (в м/с²).

4. Определите амплитудные значения скорости и ускорения.

Амплитудное значение скорости $v_{max}$ — это коэффициент перед функцией косинуса в уравнении для $v(t)$. $v_{max} = 0.05\pi \text{ м/с} \approx 0.157 \text{ м/с}$.

Амплитудное значение ускорения $a_{max}$ — это модуль коэффициента перед функцией синуса в уравнении для $a(t)$. $a_{max} = |-0.025\pi^2| = 0.025\pi^2 \text{ м/с}^2 \approx 0.247 \text{ м/с}^2$.

Также их можно найти по формулам: $v_{max} = A\omega$ и $a_{max} = A\omega^2$. $v_{max} = 0.1 \cdot \frac{\pi}{2} = 0.05\pi \text{ м/с}$. $a_{max} = 0.1 \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = 0.1 \cdot \frac{\pi^2}{4} = 0.025\pi^2 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Амплитудное значение скорости $v_{max} = 0.05\pi \text{ м/с} \approx 0.157 \text{ м/с}$. Амплитудное значение ускорения $a_{max} = 0.025\pi^2 \text{ м/с}^2 \approx 0.247 \text{ м/с}^2$.

5. Постройте графики уравнений: $v = v(t)$ и $a = a(t)$.

График скорости $v(t) = 0.05\pi \cos(\frac{\pi}{2} t)$:

Это график косинусоиды с периодом $T = 4$ с и амплитудой $v_{max} = 0.05\pi \approx 0.157$ м/с. Колебания скорости опережают колебания координаты на фазу $\pi/2$.

Ключевые точки графика:

• При $t=0$, $v(0) = v_{max} = 0.05\pi$.

• При $t=1$, $v(1) = 0$.

• При $t=2$, $v(2) = -v_{max} = -0.05\pi$.

• При $t=3$, $v(3) = 0$.

• При $t=4$, $v(4) = v_{max} = 0.05\pi$.

График ускорения $a(t) = -0.025\pi^2 \sin(\frac{\pi}{2} t)$:

Это график синусоиды, инвертированной по вертикали (знак минус), с периодом $T=4$ с и амплитудой $a_{max} = 0.025\pi^2 \approx 0.247$ м/с². Колебания ускорения находятся в противофазе с колебаниями координаты (сдвиг фазы равен $\pi$).

Ключевые точки графика:

• При $t=0$, $a(0) = 0$.

• При $t=1$, $a(1) = -a_{max} = -0.025\pi^2$.

• При $t=2$, $a(2) = 0$.

• При $t=3$, $a(3) = a_{max} = 0.025\pi^2$.

• При $t=4$, $a(4) = 0$.

Ответ: Графики скорости и ускорения представляют собой косинусоиду и инвертированную синусоиду соответственно, с одинаковым периодом $T=4$ с. График скорости опережает график смещения на $\pi/2$, а график ускорения находится в противофазе с графиком смещения.