Номер 9, страница 11, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*9. В начальный момент времени $t_0 = 0$ смещение материальной точки от положения равновесия равно амплитуде колебаний. Каким из уравнений (1.2) или (1.3) удобнее воспользоваться для описания гармонических колебаний этой точки?

Решение

Гармонические колебания можно описать с помощью двух эквивалентных уравнений, использующих функции синуса или косинуса. В общем виде они записываются как:

$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $x(t)$ – смещение от положения равновесия в момент времени $\text{t}$, $\text{A}$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая частота, а $\phi_0$ – начальная фаза колебаний.

Выбор между уравнениями с синусом и косинусом определяется начальными условиями. Удобнее выбрать ту функцию, для которой начальная фаза $\phi_0$ оказывается равной нулю, что упрощает уравнение.

По условию задачи, в начальный момент времени $t = 0$ смещение материальной точки от положения равновесия равно амплитуде, то есть $x(0) = A$.

Проверим, какое из уравнений будет проще при таких начальных условиях.

1. Для уравнения с синусом (предположительно, уравнение (1.2)): $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$.

Подставляем $t=0$ и $x(0)=A$:

$A = A \sin(\omega \cdot 0 + \phi_0)$

$A = A \sin(\phi_0)$

$\sin(\phi_0) = 1$

Отсюда следует, что начальная фаза должна быть $\phi_0 = \pi/2$. Уравнение примет вид: $x(t) = A \sin(\omega t + \pi/2)$.

2. Для уравнения с косинусом (предположительно, уравнение (1.3)): $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$.

Подставляем $t=0$ и $x(0)=A$:

$A = A \cos(\omega \cdot 0 + \phi_0)$

$A = A \cos(\phi_0)$

$\cos(\phi_0) = 1$

Отсюда следует, что начальная фаза может быть равна $\phi_0 = 0$. Уравнение примет вид: $x(t) = A \cos(\omega t)$.

Сравнивая полученные уравнения, видно, что уравнение с косинусом имеет более простой вид, так как его начальная фаза равна нулю. Поэтому для описания колебаний, которые начинаются из положения максимального отклонения, удобнее использовать функцию косинуса. Если предположить, что в учебнике уравнение (1.3) описывает колебания через косинус, то следует выбрать именно его.

Ответ: для описания гармонических колебаний этой точки удобнее воспользоваться уравнением, содержащим функцию косинуса (предположительно, уравнение (1.3)), так как при заданных начальных условиях ($t_0=0, x=A$) начальная фаза колебаний $\phi_0$ будет равна нулю, и уравнение примет наиболее простой вид: $x(t) = A \cos(\omega t)$.