Номер 8, страница 11, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*8. Расскажите превращения энергии в процессе механических гармонических колебаний.

8. В процессе механических гармонических колебаний происходит непрерывное взаимное превращение кинетической и потенциальной энергии. Полная механическая энергия колебательной системы, в отсутствие сил трения и сопротивления, остается постоянной. Рассмотрим этот процесс на примере пружинного маятника — тела массой $\text{m}$, прикрепленного к пружине жесткостью $\text{k}$.

Полная механическая энергия $\text{E}$ системы в любой момент времени складывается из кинетической энергии $E_k$ движения тела и потенциальной энергии $E_p$ деформированной пружины: $E = E_k + E_p$.

Кинетическая энергия определяется по формуле: $E_k = \frac{mv^2}{2}$, где $\text{v}$ — скорость тела.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется формулой: $E_p = \frac{kx^2}{2}$, где $\text{x}$ — смещение тела от положения равновесия (деформация пружины).

Рассмотрим превращения энергии в ключевых точках траектории:

1. Крайние положения (точки максимального отклонения). В этих точках, когда смещение максимально и равно амплитуде ($x = \pm A$), тело на мгновение останавливается, чтобы изменить направление движения. Его скорость в этот момент равна нулю ($v = 0$). Следовательно, кинетическая энергия равна нулю ($E_k = 0$). Вся механическая энергия системы сосредоточена в виде потенциальной энергии максимально растянутой или сжатой пружины: $E = E_{p_{max}} = \frac{kA^2}{2}$.

2. Положение равновесия. При прохождении телом положения равновесия его смещение равно нулю ($x = 0$). Следовательно, потенциальная энергия пружины в этот момент также равна нулю ($E_p = 0$). В этой точке скорость тела максимальна ($v = v_{max}$), и вся механическая энергия системы превращается в кинетическую энергию: $E = E_{k_{max}} = \frac{mv_{max}^2}{2}$.

3. Промежуточные положения. В любой другой точке траектории (между положением равновесия и крайним положением) тело обладает и скоростью, и смещением. Поэтому полная энергия системы состоит из суммы кинетической и потенциальной энергий: $E = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$.

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия идеальной колебательной системы постоянна: $E = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2} = const$.

Таким образом, в процессе гармонических колебаний происходит периодический переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Когда тело движется от крайнего положения к положению равновесия, его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая — увеличивается. При движении от положения равновесия к крайнему положению, наоборот, кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная — растет. Эти превращения происходят дважды за один полный период колебаний.

Если учесть, что при гармонических колебаниях координата и скорость изменяются со временем по законам $x(t) = A \cos(\omega t)$ и $v(t) = -A\omega \sin(\omega t)$ (при выборе начальной фазы равной нулю), то можно записать зависимости энергий от времени: $E_p(t) = \frac{kA^2}{2} \cos^2(\omega t)$ $E_k(t) = \frac{m(-A\omega \sin(\omega t))^2}{2} = \frac{mA^2\omega^2}{2} \sin^2(\omega t)$ Так как циклическая частота для пружинного маятника $\omega = \sqrt{k/m}$, то $m\omega^2 = k$. Тогда: $E_k(t) = \frac{kA^2}{2} \sin^2(\omega t)$ Сумма этих энергий постоянна: $E = E_p(t) + E_k(t) = \frac{kA^2}{2}(\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t)) = \frac{kA^2}{2}$.

В реальных системах всегда присутствуют силы трения или сопротивления, из-за которых часть механической энергии переходит во внутреннюю (тепловую) энергию. В результате полная механическая энергия уменьшается, и колебания затухают.

Ответ: В процессе механических гармонических колебаний происходит периодическое превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно. В крайних точках траектории вся энергия является потенциальной. При прохождении положения равновесия вся энергия становится кинетической. В промежуточных точках полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий. В идеальной системе без трения полная механическая энергия сохраняется.