Номер 4, страница 13, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Напишите уравнение и начертите график гармонического колебания, если амплитуда колебаний равна 7 см, частота колебаний 0,5 Гц, начальная фаза равна нулю.

Ответ: $x = 7\cos(\pi t)$ (см).

Дано:

Амплитуда $A = 7$ см

Частота $f = 0,5$ Гц

Начальная фаза $\phi_0 = 0$

Перевод в систему СИ:

$A = 7 \text{ см} = 0,07 \text{ м}$

Найти:

Уравнение гармонического колебания $x(t)$;

График гармонического колебания $x(t)$.

Решение:

1. Уравнение гармонического колебания

Общий вид уравнения гармонических колебаний, описываемых функцией косинуса:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $x(t)$ — смещение тела от положения равновесия в момент времени $\text{t}$, $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

По условию задачи, амплитуда $A = 7$ см, а начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Циклическую частоту $\omega$ найдем через заданную линейную частоту $\text{f}$ по формуле:

$\omega = 2\pi f$

Подставим значение частоты $f = 0,5$ Гц:

$\omega = 2\pi \cdot 0,5 = \pi$ рад/с

Теперь подставим значения $\text{A}$, $\omega$ и $\phi_0$ в общее уравнение колебаний. Для удобства оставим амплитуду в сантиметрах, указав единицу измерения в конце выражения, как это дано в ответе из условия.

$x(t) = 7 \cos(\pi t + 0)$

Итоговое уравнение гармонического колебания:

$x(t) = 7 \cos(\pi t)$ (см)

2. График гармонического колебания

Для построения графика необходимо определить его основные параметры. Мы уже знаем амплитуду, найдем период колебаний $\text{T}$. Период — это время одного полного колебания, он связан с частотой $\text{f}$ обратным соотношением:

$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,5} = 2$ с

График зависимости смещения $\text{x}$ от времени $\text{t}$ является косинусоидой. Его ключевые особенности:

- Колебания происходят симметрично относительно оси времени в диапазоне смещений от $-7$ см до $+7$ см.

- Период колебаний равен 2 с.

- В начальный момент времени $t=0$, смещение максимально и равно амплитуде, так как $\phi_0=0$: $x(0) = 7 \cos(0) = 7$ см.

Ниже представлен график функции $x(t) = 7 \cos(\pi t)$.

Ответ:

Уравнение гармонического колебания: $x(t) = 7 \cos(\pi t)$ (см).

График колебания представляет собой косинусоиду с амплитудой 7 см и периодом 2 с, которая в начальный момент времени имеет максимальное смещение; график представлен в решении.