Номер 9, страница 217, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

9. Выведите формулу тонкой линзы и проанализируйте ее. Попробуйте применить ее самостоятельно для нескольких случаев расположения предмета и линзы:

а)$d > 2F$;

б)$d = 2F$;

в)$d = F$;

г)$d < F$.

Рассмотрите рассеивающую и собирающую линзы.

Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние линзы $\text{F}$, расстояние от предмета до линзы $\text{d}$ и расстояние от линзы до изображения $\text{f}$. Выведем эту формулу с помощью геометрического построения для собирающей линзы, дающей действительное изображение.

Рассмотрим тонкую собирающую линзу с оптическим центром в точке o и главной оптической осью. Предмет AB высотой $\text{H}$ расположен перпендикулярно главной оптической оси на расстоянии $\text{d}$ от линзы. Его изображение A'B' высотой $\text{h}$ формируется на расстоянии $\text{f}$ от линзы. Для построения изображения воспользуемся двумя лучами, выходящими из точки A:

1. Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через ее задний главный фокус $\text{F}$.

2. Луч, проходящий через оптический центр линзы O, не меняет своего направления.

Точка A', где пересекаются эти два луча, является изображением точки A.

На основе этого построения можно рассмотреть две пары подобных треугольников:

1. Треугольник $\triangle ABO$ (образованный предметом и лучом, идущим через центр линзы) подобен треугольнику $\triangle A'B'O$ (образованному изображением и тем же лучом). Они подобны по двум углам, так как $\angle ABO = \angle A'B'O = 90^\circ$ и $\angle AOB = \angle A'OB'$ как вертикальные. Из подобия следует:

$ \frac{|A'B'|}{|AB|} = \frac{|OB'|}{|OB|} \implies \frac{h}{H} = \frac{f}{d} $

Это соотношение определяет линейное увеличение линзы $\Gamma = \frac{h}{H}$.

2. Пусть P — точка, в которой параллельный оси луч падает на линзу. Треугольник $\triangle POF$ подобен треугольнику $\triangle A'B'F$. Они подобны по двум углам: $\angle POF = \angle A'B'F = 90^\circ$ (т.к. PO перпендикулярно оси), и $\angle PFO = \angle A'FB'$ как вертикальные. Высота $|PO|$ равна высоте предмета $|AB|=H$. Расстояние $|OF|$ — это фокусное расстояние $\text{F}$. Расстояние $|B'F| = |OB'| - |OF| = f - F$. Из подобия следует:

$ \frac{|A'B'|}{|PO|} = \frac{|B'F|}{|OF|} \implies \frac{h}{H} = \frac{f-F}{F} $

Теперь приравняем правые части двух полученных выражений для увеличения $\frac{h}{H}$:

$ \frac{f}{d} = \frac{f-F}{F} $

Выполним преобразования: $f \cdot F = d \cdot (f-F) \implies fF = df - dF$.

Разделим все члены уравнения на произведение $dfF$:

$ \frac{fF}{dfF} = \frac{df}{dfF} - \frac{dF}{dfF} $

$ \frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f} $

Перегруппировав члены, получаем формулу тонкой линзы:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

Эта формула является универсальной. Для ее корректного применения необходимо следовать правилу знаков:

• Расстояние от предмета до линзы $\text{d}$ всегда положительно.

• Расстояние от линзы до изображения $\text{f}$ положительно ($f>0$) для действительного изображения (которое образуется с противоположной стороны от предмета) и отрицательно ($f<0$) для мнимого изображения (которое образуется с той же стороны, что и предмет).

• Фокусное расстояние $\text{F}$ положительно ($F>0$) для собирающей линзы и отрицательно ($F<0$) для рассеивающей линзы.

Величина $D = 1/F$ называется оптической силой линзы. Если $\text{F}$ измеряется в метрах, то $\text{D}$ измеряется в диоптриях (дптр).

Применение формулы для собирающей линзы ($F>0$)

а) d > 2F

Предмет находится на расстоянии, большем двойного фокусного. Из формулы линзы $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}$. Поскольку $d > 2F$, то $\frac{1}{d} < \frac{1}{2F}$. Тогда $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} > \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{1}{2F}$. Из $\frac{1}{f} > \frac{1}{2F}$ следует, что $f < 2F$. Также, так как $d > F$, то $\frac{1}{d} < \frac{1}{F}$, и $\frac{1}{f} > 0$, что означает $f > 0$. Таким образом, изображение находится в пределах $F < f < 2F$. Оно действительное. Увеличение $\Gamma = \frac{f}{d} < 1$, так как $f < d$.

Ответ: Изображение действительное, перевернутое, уменьшенное. Находится между фокусом и двойным фокусом ($F < f < 2F$).

б) d = 2F

Предмет находится в двойном фокусе. Подставим в формулу: $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{1}{2F}$. Отсюда получаем $f=2F$. Так как $f>0$, изображение действительное. Увеличение $\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{2F}{2F} = 1$.

Ответ: Изображение действительное, перевернутое, в натуральную величину. Находится в двойном фокусе ($f=2F$).

в) d = F

Предмет находится в фокусе линзы. Формула дает: $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{F} = 0$. Это означает, что $\text{f}$ стремится к бесконечности. Лучи света после прохождения через линзу становятся параллельными.

Ответ: Изображение не формируется (или говорят, что оно находится в бесконечности).

г) d < F

Предмет находится между линзой и фокусом. Так как $d < F$, то $\frac{1}{d} > \frac{1}{F}$. Тогда $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} < 0$. Это означает, что $f < 0$, то есть изображение мнимое и находится с той же стороны от линзы, что и предмет. Увеличение $\Gamma = \frac{|f|}{d}$. Можно показать, что $|f| > d$, следовательно $\Gamma > 1$. Это случай использования линзы в качестве лупы.

Ответ: Изображение мнимое, прямое, увеличенное.

Применение формулы для рассеивающей линзы ($F<0$)

Для рассеивающей линзы фокусное расстояние отрицательно: $F = -|F|$. Подставим это в формулу тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{|F|}$.

Отсюда $\frac{1}{f} = -\frac{1}{|F|} - \frac{1}{d} = -(\frac{1}{|F|} + \frac{1}{d})$.

Так как $d>0$ и $|F|>0$, выражение в скобках всегда положительно. Значит, $\frac{1}{f}$ всегда отрицательно, и $f<0$ при любом положении предмета. Изображение всегда мнимое. Оно также всегда прямое (неперевернутое).

Рассмотрим увеличение $\Gamma = \frac{|f|}{d}$. Из выражения для $\text{f}$ имеем $|f| = \frac{d|F|}{d+|F|}$. Так как знаменатель $d+|F|$ больше числителя $d|F|$ (поскольку $d>0$), то $|f|<|F|$. Также очевидно, что $\frac{|F|}{d+|F|} < 1$, следовательно $|f| < d$, а значит, увеличение $\Gamma < 1$.

Ответ: Рассеивающая линза при любом положении предмета дает мнимое, прямое и уменьшенное изображение, которое расположено между линзой и ее мнимым фокусом.