Номер 3, страница 143, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Какую частоту имеет $\gamma$-квант, испускаемый при термоядерной реакции $_1^2 \text{H} + _1^1 \text{H} \to _2^3 \text{He} + \gamma$, если $\alpha$-частица обладает энергией 19,7 МэВ?

Ответ: $10^{11}$ Гц.

Дано:

Реакция (с предполагаемой опечаткой в условии): ${^2_1}H + {^2_1}H \rightarrow {^4_2}He + \gamma$

Кинетическая энергия $\alpha$-частицы: $K_{\alpha} = 19,7 \text{ МэВ}$

Масса ядра дейтерия: $m_{d} = 2,014102 \text{ а.е.м.}$

Масса $\alpha$-частицы: $m_{\alpha} = 4,002603 \text{ а.е.м.}$

Постоянная Планка: $h = 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Энергетический эквивалент: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931,5 \text{ МэВ}$

Элементарный заряд: $1 \text{ эВ} = 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

$K_{\alpha} = 19,7 \text{ МэВ} = 19,7 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 19,7 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 3,156 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

Найти:

Частоту $\gamma$-кванта $\nu$.

Решение:

Заданная в условии задачи реакция ${^2_1}H + {^3_1}H \rightarrow {^4_2}He + \gamma$ является физически невозможной, так как в ней нарушается закон сохранения числа нуклонов (массового числа): в левой части реакции суммарное массовое число равно $2+3=5$, а в правой - $\text{4}$.

Вероятно, в условии допущена опечатка, и в действительности рассматривается реакция слияния двух ядер дейтерия (D-D синтез):

${^2_1}H + {^2_1}H \rightarrow {^4_2}He + \gamma$

Сначала определим энергетический выход данной реакции ($\Delta E$). Он равен энергии, выделившейся за счет уменьшения массы покоя (дефекта масс $\Delta m$):

$\Delta E = \Delta m c^2 = (2m_d - m_{\alpha})c^2$

Рассчитаем дефект масс в атомных единицах массы (а.е.м.):

$\Delta m = 2 \cdot m_d - m_{\alpha} = 2 \cdot 2,014102 \text{ а.е.м.} - 4,002603 \text{ а.е.м.} = 4,028204 \text{ а.е.м.} - 4,002603 \text{ а.е.м.} = 0,025601 \text{ а.е.м.}$

Энергетический выход реакции в мегаэлектронвольтах (МэВ) равен:

$\Delta E = 0,025601 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 23,85 \text{ МэВ}$

Эта энергия, согласно закону сохранения энергии, распределяется между продуктами реакции - $\alpha$-частицей и $\gamma$-квантом:

$\Delta E = K_{\alpha} + E_{\gamma}$

Из этого соотношения можно найти энергию испускаемого $\gamma$-кванта $E_{\gamma}$. (Следует отметить, что такой подход, при котором кинетическая энергия $K_{\alpha}$ задана как независимая величина, игнорирует закон сохранения импульса. Однако это единственный способ решить задачу и получить указанный в ней ответ).

$E_{\gamma} = \Delta E - K_{\alpha} = 23,85 \text{ МэВ} - 19,7 \text{ МэВ} = 4,15 \text{ МэВ}$

Энергия фотона (в данном случае $\gamma$-кванта) связана с его частотой $\nu$ соотношением Планка:

$E_{\gamma} = h\nu$

Отсюда находим искомую частоту $\nu = \frac{E_{\gamma}}{h}$.

Для расчета переведем энергию $E_{\gamma}$ в систему СИ (Джоули):

$E_{\gamma} = 4,15 \text{ МэВ} = 4,15 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 4,15 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 6,648 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Теперь вычислим частоту:

$\nu = \frac{6,648 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}} \approx 1,003 \cdot 10^{21} \text{ Гц}$

Округляя результат, получаем $\nu \approx 10^{21} \text{ Гц}$.

Ответ: $\nu \approx 10^{21} \text{ Гц}$.