Номер №3, страница 234, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

Лабораторная работа №3

Определение длины световой волны с помощью дифракционной решетки

Оборудование: 1) прибор для определения длины световой волны; 2) дифракционная решетка; 3) источник света.

Теория работы. Дифракция света наиболее отчетливо наблюдается при помощи дифракционной решетки. Согласно формуле дифракционной решетки $d \sin j = k \lambda$, максимумы для волн разной длины наблюдаются под разными углами. Так как угол $\text{j}$ мал (расстояние между решеткой и экраном $\text{L}$ много больше, чем расстояние $\text{x}$ от щели до места, где наблюдается максимум волны определенной длины), $\sin j \approx \operatorname{tg} j = \frac{x}{L}$. Отсюда следует, что длина волны равна:

$\lambda = \frac{dx}{kL}$.

Ход работы:

1. Поместите дифракционную решетку в рамку прибора и укрепите ее на подставке подъемного столика.

2. Поместите ползунок (подвижный экран) на расстоянии 50 см от дифракционной решетки.

3. Наблюдая сквозь дифракционную решетку, направьте прибор так, чтобы последний был виден сквозь узкую прицельную щель щитка. При этом по обе стороны подвижного экрана на его черном фоне заметны дифракционные спектры нескольких порядков. В случае наклонного положения спектров поверните решетку на некоторый угол до устранения перекоса.

Рис. 3

4. По шкале на экране определите красную и фиолетовую границы спектров первого порядка, а также отметьте положение зеленой линии спектра (рис. 3).

5. Результаты измерений занесите в таблицу 2.

6. Установите ползунок с экраном на другом расстоянии от решетки и повторите измерения. Проделайте это при трех разных положениях экрана.

7. Определите длину световой волны для красных, зеленых и фиолетовых лучей по расчетной формуле.

Таблица 2

Порядок спектра, $\text{k}$

Период решетки, $\text{d}$(м)

Расстояние $\text{L}$ от решетки до экрана шкалы, м

Расстояние от щели до линии спектра, $\text{x}$ (м)

Длина волны, м

красная

зеленая

фиолетовая

красная

зеленая

фиолетовая

1

2

8. Определите среднее значение длины волны для красных, зеленых и фиолетовых лучей.

9. Определите погрешность измерения.

Поскольку данное задание представляет собой описание лабораторной работы и не содержит конкретных результатов измерений, для демонстрации хода решения мы воспользуемся гипотетическими, но физически реалистичными данными. Предположим, что измерения были проведены согласно методике, и результаты были занесены в таблицу.

Дано:

В эксперименте используется дифракционная решетка, имеющая $N = 100$ штрихов на 1 мм.

Расстояние от решетки до экрана: $L = 50 \text{ см}$.

Измерения проводятся для дифракционных максимумов первого ($k=1$) и второго ($k=2$) порядков.

По результатам гипотетических измерений получены следующие расстояния от центрального максимума до соответствующей цветной линии на экране:

Для спектра 1-го порядка ($k=1$):

Расстояние до красной линии: $x_{r1} = 3.6 \text{ см}$

Расстояние до зеленой линии: $x_{g1} = 2.8 \text{ см}$

Расстояние до фиолетовой линии: $x_{v1} = 2.1 \text{ см}$

Для спектра 2-го порядка ($k=2$):

Расстояние до красной линии: $x_{r2} = 7.1 \text{ см}$

Расстояние до зеленой линии: $x_{g2} = 5.5 \text{ см}$

Расстояние до фиолетовой линии: $x_{v2} = 4.1 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

Период решетки: $d = \frac{1 \text{ мм}}{100} = 0.01 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Расстояние до экрана: $L = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Для k=1:

$x_{r1} = 3.6 \text{ см} = 0.036 \text{ м}$

$x_{g1} = 2.8 \text{ см} = 0.028 \text{ м}$

$x_{v1} = 2.1 \text{ см} = 0.021 \text{ м}$

Для k=2:

$x_{r2} = 7.1 \text{ см} = 0.071 \text{ м}$

$x_{g2} = 5.5 \text{ см} = 0.055 \text{ м}$

$x_{v2} = 4.1 \text{ см} = 0.041 \text{ м}$

Найти:

7. Длины световых волн для красных, зеленых и фиолетовых лучей ($\lambda$).

8. Средние значения длины волны для каждого цвета ($\bar{\lambda}$).

9. Погрешность измерения ($\Delta\lambda$, $\epsilon$).

Решение:

7. Определите длину световой волны для красных, зеленых и фиолетовых лучей по расчетной формуле.

Длина волны определяется по формуле, выведенной из условия максимума дифракционной решетки $d\sin\varphi = k\lambda$. Для малых углов дифракции ($\varphi$) справедливо приближение $\sin\varphi \approx \text{tg}\varphi = \frac{x}{L}$. Отсюда формула для расчета длины волны: $\lambda = \frac{dx}{kL}$

Расчет для спектра 1-го порядка ($k=1$):

- Красный свет: $\lambda_{r1} = \frac{d \cdot x_{r1}}{k_1 \cdot L} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.036 \text{ м}}{1 \cdot 0.5 \text{ м}} = 0.72 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 720 \text{ нм}$.

- Зеленый свет: $\lambda_{g1} = \frac{d \cdot x_{g1}}{k_1 \cdot L} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.028 \text{ м}}{1 \cdot 0.5 \text{ м}} = 0.56 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 560 \text{ нм}$.

- Фиолетовый свет: $\lambda_{v1} = \frac{d \cdot x_{v1}}{k_1 \cdot L} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.021 \text{ м}}{1 \cdot 0.5 \text{ м}} = 0.42 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 420 \text{ нм}$.

Расчет для спектра 2-го порядка ($k=2$):

- Красный свет: $\lambda_{r2} = \frac{d \cdot x_{r2}}{k_2 \cdot L} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.071 \text{ м}}{2 \cdot 0.5 \text{ м}} = 0.71 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 710 \text{ нм}$.

- Зеленый свет: $\lambda_{g2} = \frac{d \cdot x_{g2}}{k_2 \cdot L} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.055 \text{ м}}{2 \cdot 0.5 \text{ м}} = 0.55 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 550 \text{ нм}$.

- Фиолетовый свет: $\lambda_{v2} = \frac{d \cdot x_{v2}}{k_2 \cdot L} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.041 \text{ м}}{2 \cdot 0.5 \text{ м}} = 0.41 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 410 \text{ нм}$.

Ответ:

Длины волн, рассчитанные по измерениям для 1-го порядка: $\lambda_{r1} = 720 \text{ нм}$, $\lambda_{g1} = 560 \text{ нм}$, $\lambda_{v1} = 420 \text{ нм}$.

Длины волн, рассчитанные по измерениям для 2-го порядка: $\lambda_{r2} = 710 \text{ нм}$, $\lambda_{g2} = 550 \text{ нм}$, $\lambda_{v2} = 410 \text{ нм}$.

8. Определите среднее значение длины волны для красных, зеленых и фиолетовых лучей.

Среднее значение длины волны для каждого цвета находится как среднее арифметическое значений, полученных для максимумов первого и второго порядков: $\bar{\lambda} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2}$.

- Средняя длина волны для красного света: $\bar{\lambda}_r = \frac{\lambda_{r1} + \lambda_{r2}}{2} = \frac{720 \text{ нм} + 710 \text{ нм}}{2} = 715 \text{ нм}$.

- Средняя длина волны для зеленого света: $\bar{\lambda}_g = \frac{\lambda_{g1} + \lambda_{g2}}{2} = \frac{560 \text{ нм} + 550 \text{ нм}}{2} = 555 \text{ нм}$.

- Средняя длина волны для фиолетового света: $\bar{\lambda}_v = \frac{\lambda_{v1} + \lambda_{v2}}{2} = \frac{420 \text{ нм} + 410 \text{ нм}}{2} = 415 \text{ нм}$.

Ответ:

Средняя длина волны составляет: $\bar{\lambda}_r = 715 \text{ нм}$ (красный), $\bar{\lambda}_g = 555 \text{ нм}$ (зеленый), $\bar{\lambda}_v = 415 \text{ нм}$ (фиолетовый).

9. Определите погрешность измерения.

Погрешность измерений можно оценить по разбросу полученных данных. Абсолютную погрешность $\Delta\lambda$ для каждого цвета определим как половину модуля разности значений длины волны, измеренных для разных порядков: $\Delta\lambda = \frac{|\lambda_1 - \lambda_2|}{2}$. Это характеризует случайную погрешность в рамках данного эксперимента.

Относительную погрешность $\epsilon$ найдем по формуле: $\epsilon = \frac{\Delta\lambda}{\bar{\lambda}} \cdot 100\%$.

Расчет погрешностей:

- Красный свет:

Абсолютная погрешность: $\Delta\lambda_r = \frac{|\lambda_{r1} - \lambda_{r2}|}{2} = \frac{|720 - 710|}{2} = 5 \text{ нм}$.

Относительная погрешность: $\epsilon_r = \frac{\Delta\lambda_r}{\bar{\lambda}_r} \cdot 100\% = \frac{5}{715} \cdot 100\% \approx 0.7\%$.

- Зеленый свет:

Абсолютная погрешность: $\Delta\lambda_g = \frac{|\lambda_{g1} - \lambda_{g2}|}{2} = \frac{|560 - 550|}{2} = 5 \text{ нм}$.

Относительная погрешность: $\epsilon_g = \frac{\Delta\lambda_g}{\bar{\lambda}_g} \cdot 100\% = \frac{5}{555} \cdot 100\% \approx 0.9\%$.

- Фиолетовый свет:

Абсолютная погрешность: $\Delta\lambda_v = \frac{|\lambda_{v1} - \lambda_{v2}|}{2} = \frac{|420 - 410|}{2} = 5 \text{ нм}$.

Относительная погрешность: $\epsilon_v = \frac{\Delta\lambda_v}{\bar{\lambda}_v} \cdot 100\% = \frac{5}{415} \cdot 100\% \approx 1.2\%$.

Для более точного определения длин волн и оценки погрешности, согласно пункту 6 методических указаний, следовало бы провести измерения для нескольких различных расстояний $\text{L}$ от решетки до экрана. Это позволило бы получить большее количество данных, усреднить их и более надежно рассчитать случайную погрешность (например, как среднеквадратичное отклонение).

Ответ:

Итоговые результаты определения длины волны с учетом погрешности (окончательный результат записывается в виде $\lambda = \bar{\lambda} \pm \Delta\lambda$):

- Длина волны красного света: $\lambda_r = (715 \pm 5) \text{ нм}$, относительная погрешность $\epsilon_r \approx 0.7\%$.

- Длина волны зеленого света: $\lambda_g = (555 \pm 5) \text{ нм}$, относительная погрешность $\epsilon_g \approx 0.9\%$.

- Длина волны фиолетового света: $\lambda_v = (415 \pm 5) \text{ нм}$, относительная погрешность $\epsilon_v \approx 1.2\%$.