Номер 3, страница 69 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Сила тока в открытом колебательном контуре в виде стержня изменяется по закону $I = 400 \cos(2 \cdot 10^8 \pi t)$ (мА). Найдите длину этого стержня.

Ответ: $l = 1,5$ м.

Дано:

Закон изменения силы тока: $I = 400 \cos(2 \cdot 10^8 \pi t)$ (мА)

Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме (скорость света): $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Амплитуда силы тока: $I_m = 400 \text{ мА} = 0,4 \text{ А}$

Найти:

$\text{l}$ — длину стержня.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний силы тока в общем виде записывается как:

$I(t) = I_m \cos(\omega t + \phi_0)$

где $I_m$ — амплитуда силы тока, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $\text{t}$ — время, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Сравнивая данное в условии уравнение $I = 400 \cos(2 \cdot 10^8 \pi t)$ с общей формулой, мы можем определить циклическую частоту колебаний тока в контуре. В нашем случае начальная фаза $\phi_0 = 0$.

$\omega = 2 \cdot 10^8 \pi$ рад/с.

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Выразим и найдем линейную частоту $\nu$:

$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2 \cdot 10^8 \pi}{2\pi} = 10^8$ Гц.

Открытый колебательный контур в виде стержня является простейшей антенной (вибратором Герца). Такая антенна наиболее эффективно излучает и принимает электромагнитные волны на резонансной частоте. Для основного, самого простого вида колебаний (основного тона), длина стержня $\text{l}$ должна быть равна половине длины излучаемой электромагнитной волны $\lambda$.

$l = \frac{\lambda}{2}$

Длина волны $\lambda$ связана с частотой $\nu$ и скоростью распространения волны $\text{c}$ (в данном случае, скоростью света) следующей формулой:

$\lambda = \frac{c}{\nu}$

Рассчитаем длину волны:

$\lambda = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{10^8 \text{ Гц}} = 3$ м.

Теперь мы можем найти длину стержня:

$l = \frac{\lambda}{2} = \frac{3 \text{ м}}{2} = 1,5$ м.

Ответ: длина стержня равна 1,5 м.