Номер 4, страница 69 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Как обеспечить настройку в резонанс индуктивностью 25 мкГн на длину волны 100 м?

Ответ: необходим конденсатор на 113 пФ.

Дано:

Индуктивность $L = 25$ мкГн

Длина волны $\lambda = 100$ м

Скорость света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$L = 25 \cdot 10^{-6}$ Гн

Найти:

Емкость конденсатора $\text{C}$

Решение:

Для настройки колебательного контура в резонанс необходимо, чтобы его собственная частота колебаний совпадала с частотой принимаемой электромагнитной волны. Связь между длиной волны $\lambda$, скоростью света $\text{c}$ и периодом колебаний $\text{T}$ в контуре описывается формулой:

$\lambda = c \cdot T$

Период собственных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Чтобы найти необходимую емкость $\text{C}$, приравняем два выражения для периода $\text{T}$. Из первой формулы выразим $T = \lambda/c$ и подставим во вторую, либо сразу приравняем правые части выражений для $\text{T}$:

$\frac{\lambda}{c} = 2\pi\sqrt{LC}$

Теперь необходимо выразить емкость $\text{C}$ из этого уравнения. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$\frac{\lambda^2}{c^2} = 4\pi^2 LC$

Выражаем $\text{C}$ из полученного соотношения:

$C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2 c^2 L}$

Подставим числовые значения в формулу:

$C = \frac{(100 \text{ м})^2}{4\pi^2 (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 \cdot (25 \cdot 10^{-6} \text{ Гн})}$

$C = \frac{10000}{4\pi^2 \cdot (9 \cdot 10^{16}) \cdot (25 \cdot 10^{-6})} \text{ Ф}$

$C = \frac{10^4}{4\pi^2 \cdot 225 \cdot 10^{10}} \text{ Ф} = \frac{10^4}{900\pi^2 \cdot 10^{10}} \text{ Ф}$

$C = \frac{10^4}{9 \cdot \pi^2 \cdot 10^{12}} \text{ Ф} = \frac{1}{9\pi^2} \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3.14159$:

$C \approx \frac{1}{9 \cdot (3.14159)^2} \cdot 10^{-8} \text{ Ф} \approx \frac{1}{88.826} \cdot 10^{-8} \text{ Ф} \approx 0.011258 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

$C \approx 1.1258 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$

Переведем результат в пикофарады (1 пФ = $10^{-12}$ Ф):

$C \approx 112.58 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 113 \text{ пФ}$

Ответ: для обеспечения настройки в резонанс необходим конденсатор емкостью 113 пФ.