Номер 8, страница 130 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

8. Выведите формулу тонкой линзы и проанализируйте ее. Попробуйте применить ее самостоятельно для нескольких случаев расположения предмета и линзы: а) $d > 2F$; б) $d = 2F$; в) $d = F$; г) $d < F$. Рассмотрите рассеивающую и собирающую линзы.

Вывод и анализ формулы тонкой линзы

Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до линзы $\text{d}$, расстояние от линзы до изображения $\text{f}$ и фокусное расстояние линзы $\text{F}$.

Для вывода формулы рассмотрим построение изображения предмета $AB$ высотой $\text{h}$ в тонкой собирающей линзе. Предмет находится на расстоянии $\text{d}$ от оптического центра линзы $\text{O}$. Его действительное изображение $A'B'$ высотой $\text{H}$ формируется на расстоянии $\text{f}$.

Рассмотрим два луча, выходящих из точки $\text{B}$:
1. Луч, проходящий через оптический центр $\text{O}$, не преломляется.
2. Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через главный фокус $\text{F}$.

Рассмотрим подобные треугольники.
Треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle A'B'O$ подобны по двум углам. Из их подобия следует соотношение:
$\frac{H}{h} = \frac{f}{d}$

Пусть $\text{C}$ - точка пересечения параллельного луча с главной плоскостью линзы. Треугольники $\triangle COF$ и $\triangle A'B'F$ также подобны. Высота $OC$ равна высоте предмета $\text{h}$. Из их подобия следует:
$\frac{A'B'}{OC} = \frac{OF'}{OF}$ (опечатка, должно быть $\frac{A'B'}{OC} = \frac{A'F}{OF}$)
$\frac{H}{h} = \frac{f-F}{F}$

Приравнивая правые части полученных уравнений для $\frac{H}{h}$, получаем:
$\frac{f}{d} = \frac{f-F}{F}$

Преобразуем это выражение:
$f \cdot F = d \cdot (f-F)$
$fF = df - dF$

Разделим обе части уравнения на $d \cdot f \cdot F$:
$\frac{fF}{dfF} = \frac{df}{dfF} - \frac{dF}{dfF}$
$\frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f}$

Перегруппировав члены, получаем окончательную формулу тонкой линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Величину $D = \frac{1}{F}$ называют оптической силой линзы, она измеряется в диоптриях (дптр). Тогда формула принимает вид: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = D$.

Анализ формулы и правила знаков:
• $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, всегда считается положительным ($d > 0$).
• $\text{F}$ — фокусное расстояние. Для собирающей линзы $F > 0$, для рассеивающей линзы $F < 0$.
• $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения. Если изображение действительное (образуется на пересечении самих преломленных лучей), то $f > 0$. Если изображение мнимое (образуется на пересечении продолжений преломленных лучей), то $f < 0$.

Линейное увеличение линзы $Γ$ показывает, во сколько раз изображение больше (или меньше) предмета:
$Γ = \frac{H}{h} = |\frac{f}{d}|$
Если $Γ > 1$ — изображение увеличенное, если $Γ < 1$ — уменьшенное, если $Γ = 1$ — в натуральную величину.
Часто используют формулу $Γ = -\frac{f}{d}$, где знак "минус" указывает на то, что действительное изображение ($f>0$) является перевернутым ($Γ<0$), а мнимое ($f<0$) — прямым ($Γ>0$).

Применение формулы для собирающей линзы ($F > 0$)

а) $d > 2F$

Решение: Найдем расстояние до изображения $\text{f}$ из формулы $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}$. Поскольку $d > 2F$, то $\frac{1}{d} < \frac{1}{2F}$. Тогда $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} > \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{1}{2F}$. Итак, $\frac{1}{f} > \frac{1}{2F}$, что означает $f < 2F$. Также, так как $d > F$, то $\frac{1}{d} < \frac{1}{F}$, следовательно $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} > 0$, значит $f > 0$. Изображение действительное. Наконец, $\frac{1}{f} < \frac{1}{F}$, что означает $f > F$. Итак, $F < f < 2F$. Увеличение $Γ = |\frac{f}{d}|$. Поскольку $f < 2F < d$, то $Γ < 1$. Изображение уменьшенное. Действительное изображение всегда перевернутое.

Ответ: Изображение действительное, перевернутое, уменьшенное, расположено между фокусом и двойным фокусом ($F < f < 2F$).

б) $d = 2F$

Решение: Подставим $d = 2F$ в формулу: $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{2-1}{2F} = \frac{1}{2F}$. Отсюда $f = 2F$. Так как $f > 0$, изображение действительное. Увеличение $Γ = |\frac{f}{d}| = |\frac{2F}{2F}| = 1$. Изображение равно предмету по размеру. Действительное изображение всегда перевернутое.

Ответ: Изображение действительное, перевернутое, в натуральную величину, расположено на двойном фокусном расстоянии ($f = 2F$).

в) $d = F$

Решение: Подставим $d = F$ в формулу: $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{F} = 0$. Это означает, что $f \to \infty$. Лучи после линзы идут параллельным пучком, изображение не формируется (или говорят, что оно формируется в бесконечности).

Ответ: Изображение не формируется (лучи выходят из линзы параллельно).

г) $d < F$

Решение: Поскольку $d < F$, то $\frac{1}{d} > \frac{1}{F}$. Тогда $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} < 0$. Это означает, что $f < 0$. Изображение мнимое. Оно находится с той же стороны от линзы, что и предмет. Увеличение $Γ = |\frac{f}{d}| = |\frac{F}{d-F}| = \frac{F}{F-d}$. Так как $F-d < F$, то $Γ > 1$. Изображение увеличенное. Мнимое изображение, даваемое одной линзой, всегда прямое.

Ответ: Изображение мнимое, прямое, увеличенное, находится с той же стороны от линзы, что и предмет.

Применение формулы для рассеивающей линзы ($F < 0$)

Для рассеивающей линзы фокусное расстояние отрицательно, $F = -|F|$. Формула линзы: $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = -\frac{1}{|F|} - \frac{1}{d}$. Поскольку $d > 0$ и $|F| > 0$, оба слагаемых в правой части отрицательны. Следовательно, $\frac{1}{f}$ всегда отрицательна, а значит $f < 0$ для любого положения предмета. Изображение всегда мнимое и прямое. Увеличение $Γ = |\frac{f}{d}| = |\frac{F}{d-F}| = \frac{|F|}{d+|F|}$. Поскольку $d+|F| > |F|$, то $Γ < 1$. Изображение всегда уменьшенное. Вывод: рассеивающая линза всегда дает мнимое, прямое и уменьшенное изображение, расположенное между предметом и линзой. Рассмотрим заданные случаи, интерпретируя $\text{F}$ как $|F|$ в неравенствах.

а) $d > 2|F|$

Решение: Как показано выше, изображение мнимое, прямое, уменьшенное. $|f| = \frac{d|F|}{d+|F|}$. Так как $d > 2|F|$, то $|f| < |F|$. Увеличение $Γ = \frac{|F|}{d+|F|} < \frac{|F|}{2|F|+|F|} = \frac{1}{3}$.

Ответ: Изображение мнимое, прямое, уменьшенное.

б) $d = 2|F|$

Решение: Изображение мнимое, прямое, уменьшенное. $f = -\frac{2}{3}|F|$. Увеличение $Γ = \frac{|F|}{2|F|+|F|} = \frac{1}{3}$.

Ответ: Изображение мнимое, прямое, уменьшенное (в 3 раза).

в) $d = |F|$

Решение: Изображение мнимое, прямое, уменьшенное. $f = -\frac{1}{2}|F|$. Увеличение $Γ = \frac{|F|}{|F|+|F|} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Изображение мнимое, прямое, уменьшенное (в 2 раза), находится на расстоянии $|F|/2$ от линзы.

г) $d < |F|$

Решение: Изображение мнимое, прямое, уменьшенное. По мере приближения предмета к линзе ($d \to 0$), изображение также приближается к линзе и его размер стремится к размеру предмета ($Γ \to 1$).

Ответ: Изображение мнимое, прямое, уменьшенное.