Номер 3, страница 401 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Красное смещение галактики равно $z = 0,1$. На каком расстоянии она находится?

Дано:

Красное смещение, $z = 0,1$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Постоянная Хаббла, $H \approx 70$ (км/с)/Мпк

Перевод данных в систему СИ:

$c \approx 3 \cdot 10^5$ км/с

$1 \text{ Мпк (мегапарсек)} \approx 3,086 \cdot 10^{22} \text{ м}$

$H \approx 70 \frac{\text{км/с}}{\text{Мпк}} = 70 \frac{10^3 \text{ м/с}}{3,086 \cdot 10^{22} \text{ м}} \approx 2,27 \cdot 10^{-18} \text{ с}^{-1}$

Найти:

Расстояние до галактики, $r$

Решение:

Для определения расстояния до галактики используется закон Хаббла, который связывает скорость удаления галактики $v$ (лучевую скорость) с расстоянием до нее $r$:

$v = H \cdot r$

где $H$ — постоянная Хаббла. В расчетах будем использовать общепринятое значение $H \approx 70$ (км/с)/Мпк.

Скорость удаления галактики можно определить по её красному смещению $z$. Для значений красного смещения, значительно меньших единицы ($z \ll 1$), что выполняется в данном случае ($0,1 \ll 1$), скорость удаления можно считать нерелятивистской и использовать приближенную формулу:

$v \approx z \cdot c$

где $c$ — скорость света.

Объединим обе формулы, приравняв выражения для скорости:

$H \cdot r = z \cdot c$

Отсюда можно выразить искомое расстояние $r$:

$r = \frac{z \cdot c}{H}$

Для удобства расчетов подставим значения в общепринятых в астрофизике единицах: скорость света в км/с, а постоянную Хаббла в (км/с)/Мпк. В этом случае расстояние будет получено в мегапарсеках (Мпк).

$c \approx 3 \cdot 10^5$ км/с

$r = \frac{0,1 \cdot 3 \cdot 10^5 \text{ км/с}}{70 \text{ (км/с)/Мпк}} = \frac{30000}{70} \text{ Мпк} \approx 428,6 \text{ Мпк}$

Округлим результат до целого значения: $r \approx 429$ Мпк.

Можно также перевести это расстояние в световые годы, зная, что 1 Мпк $\approx 3,26 \cdot 10^6$ световых лет.

$r \approx 429 \text{ Мпк} \cdot 3,26 \cdot 10^6 \frac{\text{св. лет}}{\text{Мпк}} \approx 1398,5 \cdot 10^6 \text{ св. лет} \approx 1,4 \cdot 10^9 \text{ св. лет.}$

Ответ: Расстояние до галактики составляет приблизительно 429 Мпк, что эквивалентно примерно 1,4 миллиардам световых лет.