Номер 4, страница 150 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. Колебательный контур радиоприёмника настроен на радиостанцию, работающую на волне 100 м. Как нужно изменить ёмкость конденсатора колебательного контура, чтобы он был настроен на волну 25 м? Индуктивность катушки считайте неизменной.

1) увеличить в 4 раза

2) уменьшить в 4 раза

3) увеличить в 16 раз

4) уменьшить в 16 раз

Дано:

Начальная длина волны $λ_1 = 100$ м
Конечная длина волны $λ_2 = 25$ м
Индуктивность катушки $L$ не изменяется ($L = const$)

Найти:

Во сколько раз и как нужно изменить ёмкость конденсатора $C$.

Решение:

Резонансная длина волны электромагнитных колебаний, на которую настроен колебательный контур, определяется формулой Томсона:

$λ = c \cdot T = 2\pi c \sqrt{LC}$

где $c$ — скорость света, $L$ — индуктивность катушки, $C$ — ёмкость конденсатора.

Запишем эту формулу для двух состояний контура:

1. Начальное состояние: $λ_1 = 2\pi c \sqrt{LC_1}$

2. Конечное состояние: $λ_2 = 2\pi c \sqrt{LC_2}$

Чтобы найти, как нужно изменить ёмкость, найдём отношение $C_2/C_1$. Для этого разделим второе уравнение на первое:

$\frac{λ_2}{λ_1} = \frac{2\pi c \sqrt{LC_2}}{2\pi c \sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{LC_2}{LC_1}}$

Поскольку индуктивность $L$ не изменяется, она сокращается:

$\frac{λ_2}{λ_1} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}$

Чтобы выразить отношение ёмкостей, возведём обе части равенства в квадрат:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{λ_2}{λ_1}\right)^2$

Подставим данные из условия задачи:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{25 \text{ м}}{100 \text{ м}}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$

Из полученного соотношения $C_2 = \frac{1}{16}C_1$ следует, что ёмкость конденсатора необходимо уменьшить в 16 раз.

Ответ: 4) уменьшить в 16 раз.