Номер 2, страница 175 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Докажите с помощью принципа Гюйгенса, что при распространении света фронт плоской волны остаётся плоским.

Решение

Для доказательства воспользуемся принципом Гюйгенса. Этот принцип утверждает, что каждая точка волнового фронта в данный момент времени является источником вторичных сферических волн. Новое положение волнового фронта через малый промежуток времени совпадает с огибающей поверхностью всех этих вторичных волн.

Рассмотрим плоский волновой фронт, который в момент времени $t$ представляет собой плоскость $P_1$. Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка этой плоскости (например, точки A, B, C и т.д.) становится источником вторичных сферических волн.

Пусть свет распространяется в однородной изотропной среде со скоростью $v$. За промежуток времени $\Delta t$ каждая вторичная волна распространится на расстояние $r = v \cdot \Delta t$. Таким образом, в момент времени $t + \Delta t$ фронт каждой вторичной волны будет представлять собой сферу радиусом $r$ с центром в соответствующей точке на исходной плоскости $P_1$.

Поскольку все точки исходного фронта $P_1$ лежат в одной плоскости, и все вторичные сферические волны имеют одинаковый радиус $r$, то их огибающая поверхность (поверхность, касательная ко всем этим сферам) также будет плоскостью. Эта новая плоскость, $P_2$, будет параллельна исходной плоскости $P_1$ и отстоять от нее на расстояние $r$.

Математически, если исходный фронт волны описывается уравнением плоскости, например, $z=0$ в момент времени $t=0$, то любая точка $(x_0, y_0, 0)$ на этом фронте порождает вторичную сферическую волну. Через время $\Delta t$ уравнение этой волны будет $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + z^2 = (v \Delta t)^2$. Огибающая этого семейства сфер (для всех $x_0, y_0$) будет представлять собой две плоскости $z = v \Delta t$ и $z = -v \Delta t$. Поскольку волна распространяется в одном направлении, мы рассматриваем только ту плоскость, которая соответствует направлению распространения, то есть $z = v \Delta t$. Эта плоскость и есть новый волновой фронт.

Таким образом, мы доказали, что новый волновой фронт также является плоскостью, параллельной исходной.

Ответ: Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка плоского волнового фронта является источником когерентных сферических вторичных волн. В однородной среде эти волны распространяются с одинаковой скоростью, и через промежуток времени $\Delta t$ радиусы всех вторичных сфер будут одинаковы и равны $r = v \Delta t$. Огибающая поверхность этих одинаковых сфер, центры которых лежат в одной плоскости, сама является плоскостью, параллельной исходной. Следовательно, фронт плоской волны при распространении остается плоским.