Номер 2, страница 280 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Нарисуйте систему трёх зарядов, находящихся в состоянии равновесия. Сместите один из них, нарисуйте силы, действующие на заряды, и убедитесь в том, что под действием этих сил заряды не вернутся в прежнее положение.

Дано:

Система из трех точечных зарядов $q_1, q_2, q_3$, взаимодействующих только электростатически.

Найти:

Описать и "нарисовать" конфигурацию зарядов в равновесии. Проанализировать силы после смещения одного из зарядов и доказать, что система не вернется в исходное положение.

Решение:

Нарисуйте систему трёх зарядов, находящихся в состоянии равновесия.

Для того чтобы система из трех зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы они располагались на одной прямой. В противном случае векторная сумма сил не будет равна нулю. Также заряды по краям должны быть одноименными, а средний заряд — разноименным.

Рассмотрим конкретный пример: два положительных заряда $q_1 = +Q$ и $q_3 = +Q$ расположены на расстоянии $R$ друг от друга. Между ними помещен отрицательный заряд $q_2$. Из соображений симметрии, для равновесия он должен находиться ровно посередине.

Найдем величину заряда $q_2$ из условия равновесия для любого из крайних зарядов, например $q_1$. На него действует сила отталкивания $\vec{F}_{31}$ от заряда $q_3$ и сила притяжения $\vec{F}_{21}$ от заряда $q_2$. В равновесии их модули равны:

$|\vec{F}_{31}| = |\vec{F}_{21}|$

По закону Кулона: $k \frac{|q_3 q_1|}{R^2} = k \frac{|q_2 q_1|}{(R/2)^2}$. Подставляя $q_1=q_3=Q$, получаем:

$k \frac{Q^2}{R^2} = k \frac{|q_2| Q}{R^2/4} \implies |q_2| = \frac{Q}{4}$

Таким образом, $q_2 = -Q/4$.

Описание рисунка: На одной прямой расположены три заряда. По краям на расстоянии $R$ друг от друга находятся заряды $q_1=+Q$ и $q_3=+Q$. Ровно посередине между ними находится заряд $q_2 = -Q/4$.

Ответ: Пример системы в равновесии: заряды $+Q$, $-Q/4$, $+Q$ расположены на одной прямой, причем отрицательный заряд находится ровно посередине между положительными.

Сместите один из них, нарисуйте силы, действующие на заряды, и убедитесь в том, что под действием этих сил заряды не вернутся в прежнее положение.

Сместим центральный заряд $q_2 = -Q/4$ из положения равновесия вдоль прямой, соединяющей заряды, на малое расстояние $\delta x$ вправо (к заряду $q_3$).

Новое расстояние от $q_1$ до $q_2$ равно $r_{12} = R/2 + \delta x$.
Новое расстояние от $q_3$ до $q_2$ равно $r_{32} = R/2 - \delta x$.

На заряд $q_2$ действуют две силы притяжения: $\vec{F}_{12}$ к заряду $q_1$ (влево) и $\vec{F}_{32}$ к заряду $q_3$ (вправо). Их модули:

$F_{12} = k \frac{Q(Q/4)}{(R/2 + \delta x)^2} \quad \text{и} \quad F_{32} = k \frac{Q(Q/4)}{(R/2 - \delta x)^2}$

Описание рисунка: Заряд $q_2$ смещен из центра вправо. На него действуют две силы: $\vec{F}_{12}$ (вектор направлен влево) и $\vec{F}_{32}$ (вектор направлен вправо). Так как расстояние до $q_3$ стало меньше, вектор $\vec{F}_{32}$ длиннее вектора $\vec{F}_{12}$.

Поскольку знаменатель $(R/2 - \delta x)^2$ меньше знаменателя $(R/2 + \delta x)^2$, то сила притяжения к ближайшему заряду $q_3$ будет больше, чем к дальнему $q_1$: $F_{32} > F_{12}$.

Следовательно, результирующая сила $\vec{F}_{net}$, действующая на заряд $q_2$, направлена вправо — в ту же сторону, что и смещение. Эта сила не возвращает заряд в положение равновесия, а наоборот, уводит его еще дальше. Такое равновесие называется неустойчивым.

Ответ: При смещении центрального заряда вдоль линии, соединяющей крайние заряды, возникает результирующая сила, направленная в сторону смещения. Эта сила уводит заряд дальше от положения равновесия, поэтому заряды не вернутся в прежнее положение. Равновесие системы является неустойчивым.