Страница 123 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Как, зная уравнение волны, записать уравнение колебаний разных точек среды? Выведите выражение для разности фаз колебаний в точках, находящихся друг от друга на расстоянии $l$.

Как, зная уравнение волны, записать уравнение колебаний разных точек среды?

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси Ox, в общем виде записывается как функция двух переменных — координаты $x$ и времени $t$:

$y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$

Здесь $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $k$ — волновое число, а $\phi_0$ — начальная фаза. Это уравнение описывает смещение $y$ любой точки среды с координатой $x$ в любой момент времени $t$.

Чтобы получить уравнение колебаний одной конкретной точки среды, необходимо зафиксировать ее координату. Например, для точки, находящейся в положении $x = x_1$, ее смещение со временем будет описываться функцией, которая получается подстановкой $x_1$ в общее уравнение волны:

$y(t) = A \cos(\omega t - kx_1 + \phi_0)$

Это и есть уравнение гармонических колебаний для точки с координатой $x_1$. Оно описывает, как смещение этой конкретной точки изменяется во времени. Видно, что это уравнение гармонического колебания с амплитудой $A$, частотой $\omega$ и начальной фазой $\phi_1 = \phi_0 - kx_1$.

Ответ: Чтобы записать уравнение колебаний конкретной точки среды с координатой $x_1$, необходимо в уравнение волны $y(x, t)$ подставить фиксированное значение координаты этой точки $x = x_1$. Полученная в результате функция $y(t) = y(x_1, t)$ и будет являться уравнением колебаний данной точки.

Выведите выражение для разности фаз колебаний в точках, находящихся друг от друга на расстоянии l.

Пусть плоская гармоническая волна распространяется вдоль оси Ox и описывается уравнением:

$y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$

Фаза колебаний $\Phi$ в произвольной точке $x$ в момент времени $t$ равна аргументу косинуса:

$\Phi(x, t) = \omega t - kx + \phi_0$

Рассмотрим две точки среды с координатами $x_1$ и $x_2$. Расстояние между ними равно $l = |x_2 - x_1|$. Запишем фазы колебаний для этих двух точек в один и тот же момент времени $t$:

Фаза для первой точки: $\Phi_1 = \omega t - kx_1 + \phi_0$

Фаза для второй точки: $\Phi_2 = \omega t - kx_2 + \phi_0$

Разность фаз $\Delta\Phi$ этих двух колебаний равна:

$\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = (\omega t - kx_2 + \phi_0) - (\omega t - kx_1 + \phi_0) = -kx_2 + kx_1 = -k(x_2 - x_1)$

Так как нас интересует абсолютное значение разности фаз, а расстояние между точками $l = |x_2 - x_1|$, то:

$\Delta\Phi = | -k(x_2 - x_1) | = k|x_2 - x_1| = kl$

Волновое число $k$ связано с длиной волны $\lambda$ соотношением $k = \frac{2\pi}{\lambda}$. Подставив это выражение, получим окончательную формулу для разности фаз:

$\Delta\Phi = \frac{2\pi}{\lambda} l$

Ответ: Выражение для разности фаз колебаний в точках, находящихся друг от друга на расстоянии $l$, имеет вид: $\Delta\Phi = k l = \frac{2\pi}{\lambda} l$, где $k$ – волновое число, а $\lambda$ – длина волны.

Обсудите с одноклассниками, как определить фазу колебаний в данной точке пространства. От чего зависит фаза колебаний?

Как определить фазу колебаний в данной точке пространства.

Фаза колебаний – это величина, характеризующая состояние колебательной системы в определенный момент времени. Для волны, распространяющейся в пространстве, фаза в данной точке показывает, на какой стадии своего периодического изменения находится колеблющаяся величина (например, смещение частицы среды от положения равновесия).

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси $x$, имеет вид: $s(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$ где $s(x, t)$ – смещение точки с координатой $x$ в момент времени $t$, $A$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая частота, $k$ – волновое число, $\phi_0$ – начальная фаза.

Полное выражение, стоящее под знаком косинуса, называется фазой колебаний в точке $x$ в момент времени $t$: $\phi(x, t) = \omega t - kx + \phi_0$

Чтобы определить фазу колебаний в данной точке пространства, нужно знать:

• Момент времени $t$, для которого определяется фаза.
• Координату $x$ рассматриваемой точки.
• Характеристики волны: циклическую частоту $\omega$ (связанную с периодом $T$ как $\omega = 2\pi/T$) и волновое число $k$ (связанное с длиной волны $\lambda$ как $k = 2\pi/\lambda$).
• Начальную фазу $\phi_0$, которая определяется состоянием источника колебаний в начальный момент времени ($t=0$) в начальной точке ($x=0$).

Если известны мгновенное значение смещения $s$ и амплитуда $A$, то можно найти $\cos(\phi) = s/A$. Однако для однозначного определения фазы (например, в пределах от $0$ до $2\pi$) этого недостаточно. Нужно также знать знак скорости колеблющейся точки, то есть увеличивается или уменьшается ее смещение в данный момент. Это позволит различить состояния с одинаковым смещением, но разным направлением движения (например, до прохождения положения равновесия и после).

Ответ: Фазу колебаний в данной точке пространства можно определить по ее смещению от положения равновесия и направлению ее движения в данный момент времени (при известной амплитуде). Аналитически фаза определяется по формуле $\phi(x, t) = \omega t - kx + \phi_0$, если известны параметры волны (частота и длина волны), координата точки и время.

От чего зависит фаза колебаний?

Из формулы фазы $\phi(x, t) = \omega t - kx + \phi_0$ видно, что фаза колебаний является функцией времени и положения в пространстве. Таким образом, фаза зависит от:

• Времени ($t$): В любой фиксированной точке пространства фаза линейно возрастает со временем, что отражает непрерывный процесс колебаний.
• Положения точки в пространстве ($x$): В любой фиксированный момент времени фазы колебаний в разных точках вдоль направления распространения волны различны. Это происходит потому, что возмущению требуется время, чтобы распространиться от одной точки до другой.
• Свойств самой волны:
  • Циклической частоты $\omega$ (или периода $T$): она определяет, насколько быстро фаза изменяется со временем.
  • Волнового числа $k$ (или длины волны $\lambda$): оно определяет, насколько быстро фаза изменяется с расстоянием.
• Начальных условий (начальной фазы $\phi_0$): Эта константа зависит от выбора начала отсчета времени и координат. Она определяет состояние колебаний в точке $x=0$ в момент времени $t=0$.

Ответ: Фаза колебаний зависит от времени, от положения точки в пространстве, от характеристик самой волны (частоты и длины волны) и от выбора начальных условий (начальной фазы).