Номер 1, страница 123 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Как, зная уравнение волны, записать уравнение колебаний разных точек среды? Выведите выражение для разности фаз колебаний в точках, находящихся друг от друга на расстоянии $l$.

Как, зная уравнение волны, записать уравнение колебаний разных точек среды?

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси Ox, в общем виде записывается как функция двух переменных — координаты $x$ и времени $t$:

$y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$

Здесь $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $k$ — волновое число, а $\phi_0$ — начальная фаза. Это уравнение описывает смещение $y$ любой точки среды с координатой $x$ в любой момент времени $t$.

Чтобы получить уравнение колебаний одной конкретной точки среды, необходимо зафиксировать ее координату. Например, для точки, находящейся в положении $x = x_1$, ее смещение со временем будет описываться функцией, которая получается подстановкой $x_1$ в общее уравнение волны:

$y(t) = A \cos(\omega t - kx_1 + \phi_0)$

Это и есть уравнение гармонических колебаний для точки с координатой $x_1$. Оно описывает, как смещение этой конкретной точки изменяется во времени. Видно, что это уравнение гармонического колебания с амплитудой $A$, частотой $\omega$ и начальной фазой $\phi_1 = \phi_0 - kx_1$.

Ответ: Чтобы записать уравнение колебаний конкретной точки среды с координатой $x_1$, необходимо в уравнение волны $y(x, t)$ подставить фиксированное значение координаты этой точки $x = x_1$. Полученная в результате функция $y(t) = y(x_1, t)$ и будет являться уравнением колебаний данной точки.

Выведите выражение для разности фаз колебаний в точках, находящихся друг от друга на расстоянии l.

Пусть плоская гармоническая волна распространяется вдоль оси Ox и описывается уравнением:

$y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$

Фаза колебаний $\Phi$ в произвольной точке $x$ в момент времени $t$ равна аргументу косинуса:

$\Phi(x, t) = \omega t - kx + \phi_0$

Рассмотрим две точки среды с координатами $x_1$ и $x_2$. Расстояние между ними равно $l = |x_2 - x_1|$. Запишем фазы колебаний для этих двух точек в один и тот же момент времени $t$:

Фаза для первой точки: $\Phi_1 = \omega t - kx_1 + \phi_0$

Фаза для второй точки: $\Phi_2 = \omega t - kx_2 + \phi_0$

Разность фаз $\Delta\Phi$ этих двух колебаний равна:

$\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = (\omega t - kx_2 + \phi_0) - (\omega t - kx_1 + \phi_0) = -kx_2 + kx_1 = -k(x_2 - x_1)$

Так как нас интересует абсолютное значение разности фаз, а расстояние между точками $l = |x_2 - x_1|$, то:

$\Delta\Phi = | -k(x_2 - x_1) | = k|x_2 - x_1| = kl$

Волновое число $k$ связано с длиной волны $\lambda$ соотношением $k = \frac{2\pi}{\lambda}$. Подставив это выражение, получим окончательную формулу для разности фаз:

$\Delta\Phi = \frac{2\pi}{\lambda} l$

Ответ: Выражение для разности фаз колебаний в точках, находящихся друг от друга на расстоянии $l$, имеет вид: $\Delta\Phi = k l = \frac{2\pi}{\lambda} l$, где $k$ – волновое число, а $\lambda$ – длина волны.