Страница 130 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения

1. На расстоянии $s = 1060$ м от наблюдателя ударяют молотком по железнодорожному рельсу. Наблюдатель, приложив ухо к рельсу, услышал звук на $\tau = 3$ с раньше, чем звук дошёл до него по воздуху. Чему равна скорость звука в стали? (Скорость звука в воздухе примите равной $330$ м/с.)

Дано:

Расстояние, $s = 1060 \text{ м}$

Разница во времени, $\tau = 3 \text{ с}$

Скорость звука в воздухе, $v_{воздух} = 330 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость звука в стали, $v_{сталь}$ - ?

Решение:

Звук от удара молотком по рельсу распространяется по двум средам до наблюдателя: по воздуху и по стали. Расстояние $s$, которое проходит звук, в обоих случаях одинаково.

Определим время, за которое звук доходит до наблюдателя по воздуху. Оно рассчитывается по формуле:

$t_{воздух} = \frac{s}{v_{воздух}}$

Аналогично, время, за которое звук доходит до наблюдателя по стальному рельсу, равно:

$t_{сталь} = \frac{s}{v_{сталь}}$

Скорость звука в твердых телах (в стали) больше, чем в газах (в воздухе), поэтому $v_{сталь} > v_{воздух}$ и, следовательно, $t_{сталь} < t_{воздух}$.

По условию задачи, наблюдатель услышал звук по рельсу на $\tau = 3 \text{ с}$ раньше, чем звук, дошедший по воздуху. Это означает, что разница во времени распространения звука составляет:

$\tau = t_{воздух} - t_{сталь}$

Подставим в это уравнение выражения для времени:

$\tau = \frac{s}{v_{воздух}} - \frac{s}{v_{сталь}}$

Наша цель — найти скорость звука в стали $v_{сталь}$. Для этого выразим из формулы слагаемое, содержащее искомую величину:

$\frac{s}{v_{сталь}} = \frac{s}{v_{воздух}} - \tau$

Чтобы найти $v_{сталь}$, преобразуем выражение:

$v_{сталь} = \frac{s}{\frac{s}{v_{воздух}} - \tau}$

Для удобства вычислений приведем знаменатель к общему виду:

$v_{сталь} = \frac{s}{\frac{s - \tau \cdot v_{воздух}}{v_{воздух}}} = \frac{s \cdot v_{воздух}}{s - \tau \cdot v_{воздух}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи и произведем расчеты:

$v_{сталь} = \frac{1060 \text{ м} \cdot 330 \text{ м/с}}{1060 \text{ м} - 3 \text{ с} \cdot 330 \text{ м/с}} = \frac{349800 \text{ м}^2/\text{с}}{1060 \text{ м} - 990 \text{ м}} = \frac{349800 \text{ м}^2/\text{с}}{70 \text{ м}} \approx 4997,14 \text{ м/с}$

Округлим полученное значение до целого числа.

Ответ: скорость звука в стали равна примерно 4997 м/с.

2. Определите разность фаз между двумя точками звуковой волны в воздухе, если разность их расстояний от источника составляет 25 см, а частота колебаний равна $v = 680 \text{ Гц}$. (Скорость звука примите равной $340 \text{ м/с}$.)

2. Дано:

Разность расстояний от источника: $Δx = 25$ см
Частота колебаний: $ν = 680$ Гц
Скорость звука: $v = 340$ м/с

Перевод в систему СИ:
$Δx = 0.25$ м

Найти:

Разность фаз $Δφ$

Решение:

Разность фаз $Δφ$ колебаний в двух точках волны связана с разностью их расстояний от источника $Δx$ (разностью хода) следующим соотношением:

$Δφ = \frac{2π}{λ} Δx$

где $λ$ — это длина волны. Длину волны можно определить, зная скорость распространения волны $v$ и ее частоту $ν$:

$λ = \frac{v}{ν}$

Сначала рассчитаем длину звуковой волны, подставив известные значения:

$λ = \frac{340 \, м/с}{680 \, Гц} = 0.5$ м

Теперь, зная длину волны $λ$ и разность расстояний $Δx$, мы можем вычислить искомую разность фаз $Δφ$:

$Δφ = \frac{2π}{0.5 \, м} \cdot 0.25 \, м = \frac{2π \cdot 0.25}{0.5} = \frac{0.5π}{0.5} = π$ рад

Ответ: разность фаз между двумя точками звуковой волны равна $π$ радиан.

3. Во сколько раз изменится длина звуковой волны при переходе звука из воздуха в воду? Скорость звука в воде 1435 м/с, в воздухе 340 м/с.

Дано:

Скорость звука в воздухе $v_{воздуха} = 340$ м/с

Скорость звука в воде $v_{воды} = 1435$ м/с

Найти:

Во сколько раз изменится длина звуковой волны, то есть найти отношение $\frac{\lambda_{воды}}{\lambda_{воздуха}}$

Решение:

Длина волны $\lambda$, ее скорость $v$ и частота $\nu$ связаны фундаментальным соотношением:

$v = \lambda \cdot \nu$

Отсюда можно выразить длину волны:

$\lambda = \frac{v}{\nu}$

Важнейшим свойством волн при переходе из одной среды в другую является сохранение их частоты. Частота колебаний определяется источником волны и не меняется при смене среды распространения. Следовательно, при переходе звука из воздуха в воду его частота $\nu$ остается постоянной.

Запишем выражения для длины волны в воздухе ($\lambda_{воздуха}$) и в воде ($\lambda_{воды}$):

$\lambda_{воздуха} = \frac{v_{воздуха}}{\nu}$

$\lambda_{воды} = \frac{v_{воды}}{\nu}$

Чтобы найти, во сколько раз изменится длина волны, найдем отношение длины волны в воде к длине волны в воздухе:

$\frac{\lambda_{воды}}{\lambda_{воздуха}} = \frac{\frac{v_{воды}}{\nu}}{\frac{v_{воздуха}}{\nu}}$

Поскольку частота $\nu$ одинакова, она сокращается:

$\frac{\lambda_{воды}}{\lambda_{воздуха}} = \frac{v_{воды}}{v_{воздуха}}$

Теперь подставим заданные числовые значения скоростей:

$\frac{\lambda_{воды}}{\lambda_{воздуха}} = \frac{1435 \text{ м/с}}{340 \text{ м/с}} \approx 4.22$

Это означает, что длина звуковой волны при переходе из воздуха в воду увеличится.

Ответ: при переходе звука из воздуха в воду длина звуковой волны увеличится примерно в 4.22 раза.

1. На расстоянии 400 м от наблюдателя рабочие вбивают сваи с помощью копра. Чему равен промежуток времени между видимым ударом молота о сваю и звуком удара, услышанным наблюдателем? Скорость звука в воздухе 340 м/с.

1) 1,4 с

2) 1,2 с

3) 0,9 с

4) 0,6 с

1. Дано:

Расстояние, $S = 400 \text{ м}$
Скорость звука в воздухе, $v_{звука} = 340 \text{ м/с}$

Найти:

Промежуток времени, $\Delta t$

Решение:

Промежуток времени между моментом, когда наблюдатель видит удар, и моментом, когда он слышит звук, возникает из-за конечной скорости распространения звука. Скорость света настолько велика (около $300\ 000\ 000 \text{ м/с}$), что можно считать, что наблюдатель видит удар практически мгновенно. Поэтому искомый промежуток времени будет равен времени, которое требуется звуку, чтобы преодолеть расстояние в 400 м.

Для нахождения времени распространения звука воспользуемся формулой для равномерного движения:

$t = \frac{S}{v}$

В нашем случае искомый промежуток времени $\Delta t$ будет равен времени движения звука $t_{звука}$:

$\Delta t = t_{звука} = \frac{S}{v_{звука}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\Delta t = \frac{400 \text{ м}}{340 \text{ м/с}} \approx 1,176 \text{ с}$

Округляя полученное значение до десятых, получаем 1,2 с. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту 2).

Ответ: 2) 1,2 с.

2. На рисунке показан график зависимости давления воздуха в некоторый момент времени от расстояния до источника звука при распространении звуковой волны. Из этого графика следует, что длина звуковой волны равна

1) 0,2 м

2) 0,4 м

3) 0,8 м

4) 1,6 м

Решение

На рисунке представлен график зависимости давления воздуха $p$ от расстояния до источника звука $L$. Этот график является "моментальным снимком" волны, то есть показывает распределение давления в пространстве в определенный момент времени.

Длина звуковой волны (обозначается как $λ$) — это наименьшее расстояние между двумя точками, в которых колебания происходят в одинаковой фазе. На графике зависимости давления от расстояния длина волны соответствует расстоянию между двумя соседними максимумами (гребнями) или двумя соседними минимумами (впадинами).

Проанализируем график:

1. Первый максимум давления (гребень) наблюдается при расстоянии $L_1 = 0$ м.

2. Следующий за ним минимум (впадина) находится при расстоянии $L_{min} = 0,4$ м.

3. Второй максимум давления (следующий гребень) находится при расстоянии $L_2 = 0,8$ м.

Длина волны $λ$ равна разности координат двух соседних максимумов: $λ = L_2 - L_1 = 0,8 \text{ м} - 0 \text{ м} = 0,8 \text{ м}$.

Также можно вычислить длину волны, зная, что расстояние между соседним максимумом и минимумом равно половине длины волны ($λ/2$). Расстояние между максимумом при $L_1=0$ м и минимумом при $L_{min}=0,4$ м составляет $0,4$ м. Следовательно, $λ/2 = 0,4 \text{ м}$, откуда $λ = 2 \times 0,4 \text{ м} = 0,8 \text{ м}$.

Полученное значение соответствует варианту ответа 3).

Ответ: 3) 0,8 м

3. Динамик подключён к выходу генератора электрических колебаний звуковой частоты. Частота колебаний 6800 Гц. Определите длину звуковой волны, зная, что скорость звука в воздухе 340 м/с.

Дано:

Частота колебаний, $f = 6800$ Гц

Скорость звука в воздухе, $v = 340$ м/с

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Длину звуковой волны, $\lambda$

Решение:

Длина волны, скорость её распространения и частота связаны между собой следующей формулой:

$v = \lambda \cdot f$

где $v$ - скорость волны, $\lambda$ - длина волны, $f$ - частота колебаний.

Чтобы найти длину волны, выразим её из этой формулы:

$\lambda = \frac{v}{f}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\lambda = \frac{340 \text{ м/с}}{6800 \text{ Гц}} = \frac{340}{6800} \text{ м} = \frac{1}{20} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

Ответ: длина звуковой волны составляет 0,05 м.

4. В одном направлении в разных средах бегут со скоростями $v_1$ и $v_2$ ($v_1 > v_2$) две плоские волны одинаковой частоты $\nu$. Определите расстояние между точками, расположенными в этих двух средах вдоль направления распространения волн, колебания в которых происходят в фазе.

Дано:

Скорость первой волны: $v_1$
Скорость второй волны: $v_2$
Частота обеих волн: $\nu$
Условие: $v_1 > v_2$
Волны распространяются в одном направлении.

Найти:

Расстояние $L$ между точками, расположенными в этих двух средах вдоль направления распространения волн, колебания в которых происходят в фазе.

Решение:

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси $x$, имеет вид:$y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$где $\omega$ — круговая частота, $k$ — волновое число, а $\phi_0$ — начальная фаза. Фаза колебаний в точке $x$ в момент времени $t$ равна $\Phi(x,t) = \omega t - kx + \phi_0$.

Для двух данных волн частота $\nu$ одинакова, следовательно, одинакова и круговая частота $\omega = 2\pi\nu$. Скорости распространения волн $v_1$ и $v_2$ различны, поэтому различны и их волновые числа $k_1$ и $k_2$:$k_1 = \frac{\omega}{v_1} = \frac{2\pi\nu}{v_1}$$k_2 = \frac{\omega}{v_2} = \frac{2\pi\nu}{v_2}$

Фазы колебаний для первой и второй волны в точках $x_1$ и $x_2$ соответственно равны:$\Phi_1(x_1, t) = \omega t - k_1 x_1 + \phi_{01}$$\Phi_2(x_2, t) = \omega t - k_2 x_2 + \phi_{02}$

Колебания в точках $x_1$ (в первой среде) и $x_2$ (во второй среде) происходят в фазе, если разность их фаз кратна $2\pi$:$\Phi_1(x_1, t) - \Phi_2(x_2, t) = 2\pi n$, где $n$ — целое число.Подставим выражения для фаз:$(\omega t - k_1 x_1 + \phi_{01}) - (\omega t - k_2 x_2 + \phi_{02}) = 2\pi n$

Упрощая, получаем:$k_2 x_2 - k_1 x_1 + (\phi_{01} - \phi_{02}) = 2\pi n$

Начальные фазы $\phi_{01}$ и $\phi_{02}$ зависят от выбора начала отсчета. Мы можем выбрать систему координат так, чтобы в точке $x=0$ колебания были в фазе, что эквивалентно $\phi_{01} = \phi_{02}$. Тогда условие синфазности колебаний в точках $x_1$ и $x_2$ принимает вид:$k_2 x_2 - k_1 x_1 = 2\pi n$

Это уравнение связывает координаты $x_1$ и $x_2$ любой пары точек, колеблющихся в фазе. Расстояние между такими точками $L = |x_2 - x_1|$ зависит от их конкретного расположения, поэтому задача в такой постановке не имеет однозначного решения.

Однако, вопрос можно интерпретировать как поиск такого характерного расстояния $L$, которое описывает пространственную периодичность в расположении синфазных точек. Рассмотрим пару точек $(x_1, x_2)$, для которых выполняется условие синфазности. Теперь найдем такое расстояние $L$, что при смещении обеих точек на это расстояние вдоль направления распространения волн, новая пара точек $(x_1+L, x_2+L)$ также будет колебаться в фазе.

Для исходной пары точек $(x_1, x_2)$ имеем:$k_2 x_2 - k_1 x_1 = 2\pi n_1$

Для смещенной пары точек $(x_1+L, x_2+L)$ условие синфазности будет:$k_2(x_2+L) - k_1(x_1+L) = 2\pi n_2$Раскроем скобки:$k_2 x_2 + k_2 L - k_1 x_1 - k_1 L = 2\pi n_2$$(k_2 x_2 - k_1 x_1) + (k_2 - k_1)L = 2\pi n_2$

Подставим условие для исходной пары:$2\pi n_1 + (k_2 - k_1)L = 2\pi n_2$$(k_2 - k_1)L = 2\pi (n_2 - n_1)$

Пусть $m = n_2 - n_1$ — целое число, отличное от нуля. Тогда искомые расстояния $L$ определяются выражением:$L = \frac{2\pi m}{k_2 - k_1}$

Подставим выражения для волновых чисел $k_1$ и $k_2$:$k_2 - k_1 = \frac{2\pi\nu}{v_2} - \frac{2\pi\nu}{v_1} = 2\pi\nu \left(\frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_1}\right) = 2\pi\nu \frac{v_1 - v_2}{v_1 v_2}$Поскольку по условию $v_1 > v_2$, разность $v_1 - v_2 > 0$, и следовательно, $k_2 - k_1 > 0$.

Тогда для расстояний $L$ получаем:$L = \frac{2\pi m}{2\pi\nu \frac{v_1 - v_2}{v_1 v_2}} = m \frac{v_1 v_2}{\nu(v_1 - v_2)}$где $m$ — любое целое число, не равное нулю ($m = \pm1, \pm2, ...$). Расстояние по определению является положительной величиной, поэтому искомые расстояния представляют собой набор значений, кратных минимальному расстоянию, которое соответствует $m=1$.

Ответ: Расстояния между точками, колебания в которых происходят в фазе, образуют набор значений, кратных величине $\frac{v_1 v_2}{\nu(v_1 - v_2)}$. Общая формула для этих расстояний: $L_m = m \frac{v_1 v_2}{\nu(v_1 - v_2)}$, где $m$ — любое натуральное число ($m=1, 2, 3, ...$).

5. При возбуждении колебаний одного конца шнура с частотой 20 Гц вдоль него распространяется волна со скоростью $250 \text{ м/с}$. На сколько различаются длины волн в шнуре и в воздухе, в котором колебания шнура возбуждают волны? Скорость звука в воздухе $330 \text{ м/с}$.

Дано:

Частота колебаний, $ν = 20$ Гц

Скорость волны в шнуре, $v_{ш} = 250$ м/с

Скорость звука в воздухе, $v_{в} = 330$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Разность длин волн, $\Delta \lambda$

Решение:

Длина волны $\lambda$ связана со скоростью ее распространения $v$ и частотой колебаний $ν$ фундаментальной формулой волны: $v = \lambda \cdot ν$. Из этой формулы можно выразить длину волны: $\lambda = \frac{v}{ν}$.

Колебания шнура являются источником звуковых волн в воздухе, поэтому частота волны в воздухе будет равна частоте колебаний шнура. Таким образом, частота для обеих сред одинакова: $ν = 20$ Гц.

Сначала найдем длину волны, распространяющейся в шнуре ($\lambda_{ш}$):

$\lambda_{ш} = \frac{v_{ш}}{ν}$

$\lambda_{ш} = \frac{250 \text{ м/с}}{20 \text{ Гц}} = 12,5$ м

Затем найдем длину звуковой волны в воздухе ($\lambda_{в}$), возбуждаемой колебаниями шнура:

$\lambda_{в} = \frac{v_{в}}{ν}$

$\lambda_{в} = \frac{330 \text{ м/с}}{20 \text{ Гц}} = 16,5$ м

Чтобы найти, на сколько различаются длины этих волн, вычислим их разность $\Delta \lambda$:

$\Delta \lambda = \lambda_{в} - \lambda_{ш} = 16,5 \text{ м} - 12,5 \text{ м} = 4$ м.

Ответ: длины волн в шнуре и в воздухе различаются на 4 м.

6. Провод массой 1,5 кг и длиной 30 м натянут между двумя опорами. Сила натяжения 2000 Н. Скорость распространения волны в проводе определяется формулой $v = \sqrt{\frac{F_H}{\Delta m / \Delta l}}$, где $F_H$ — сила натяжения провода, $\Delta m / \Delta l$ — масса на единицу длины. Определите время, за которое волна дойдёт от одной опоры до другой.

Дано:

Масса провода, $m = 1,5$ кг
Длина провода, $l = 30$ м
Сила натяжения провода, $F_н = 2000$ Н

Все данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Время, за которое волна дойдет от одной опоры до другой, $t$ - ?

Решение:

Время распространения волны можно найти по формуле, связывающей расстояние, скорость и время. В данном случае расстояние равно длине провода $l$.

$t = \frac{l}{v}$

Скорость распространения волны $v$ в проводе определяется по формуле, данной в условии:

$v = \sqrt{\frac{F_н}{\Delta m / \Delta l}}$

Величина $\Delta m / \Delta l$ представляет собой массу на единицу длины, или линейную плотность провода. Для однородного провода ее можно рассчитать как отношение его полной массы $m$ к его полной длине $l$.

$\frac{\Delta m}{\Delta l} = \frac{m}{l} = \frac{1,5 \text{ кг}}{30 \text{ м}} = 0,05 \text{ кг/м}$

Теперь подставим известные значения в формулу для скорости волны:

$v = \sqrt{\frac{2000 \text{ Н}}{0,05 \text{ кг/м}}} = \sqrt{40000 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 200 \text{ м/с}$

Зная скорость распространения волны, мы можем найти время, за которое она пройдет всю длину провода:

$t = \frac{l}{v} = \frac{30 \text{ м}}{200 \text{ м/с}} = 0,15 \text{ с}$

Ответ: 0,15 с.