Номер 4, страница 130 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. В одном направлении в разных средах бегут со скоростями $v_1$ и $v_2$ ($v_1 > v_2$) две плоские волны одинаковой частоты $\nu$. Определите расстояние между точками, расположенными в этих двух средах вдоль направления распространения волн, колебания в которых происходят в фазе.

Дано:

Скорость первой волны: $v_1$
Скорость второй волны: $v_2$
Частота обеих волн: $\nu$
Условие: $v_1 > v_2$
Волны распространяются в одном направлении.

Найти:

Расстояние $L$ между точками, расположенными в этих двух средах вдоль направления распространения волн, колебания в которых происходят в фазе.

Решение:

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси $x$, имеет вид:$y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$где $\omega$ — круговая частота, $k$ — волновое число, а $\phi_0$ — начальная фаза. Фаза колебаний в точке $x$ в момент времени $t$ равна $\Phi(x,t) = \omega t - kx + \phi_0$.

Для двух данных волн частота $\nu$ одинакова, следовательно, одинакова и круговая частота $\omega = 2\pi\nu$. Скорости распространения волн $v_1$ и $v_2$ различны, поэтому различны и их волновые числа $k_1$ и $k_2$:$k_1 = \frac{\omega}{v_1} = \frac{2\pi\nu}{v_1}$$k_2 = \frac{\omega}{v_2} = \frac{2\pi\nu}{v_2}$

Фазы колебаний для первой и второй волны в точках $x_1$ и $x_2$ соответственно равны:$\Phi_1(x_1, t) = \omega t - k_1 x_1 + \phi_{01}$$\Phi_2(x_2, t) = \omega t - k_2 x_2 + \phi_{02}$

Колебания в точках $x_1$ (в первой среде) и $x_2$ (во второй среде) происходят в фазе, если разность их фаз кратна $2\pi$:$\Phi_1(x_1, t) - \Phi_2(x_2, t) = 2\pi n$, где $n$ — целое число.Подставим выражения для фаз:$(\omega t - k_1 x_1 + \phi_{01}) - (\omega t - k_2 x_2 + \phi_{02}) = 2\pi n$

Упрощая, получаем:$k_2 x_2 - k_1 x_1 + (\phi_{01} - \phi_{02}) = 2\pi n$

Начальные фазы $\phi_{01}$ и $\phi_{02}$ зависят от выбора начала отсчета. Мы можем выбрать систему координат так, чтобы в точке $x=0$ колебания были в фазе, что эквивалентно $\phi_{01} = \phi_{02}$. Тогда условие синфазности колебаний в точках $x_1$ и $x_2$ принимает вид:$k_2 x_2 - k_1 x_1 = 2\pi n$

Это уравнение связывает координаты $x_1$ и $x_2$ любой пары точек, колеблющихся в фазе. Расстояние между такими точками $L = |x_2 - x_1|$ зависит от их конкретного расположения, поэтому задача в такой постановке не имеет однозначного решения.

Однако, вопрос можно интерпретировать как поиск такого характерного расстояния $L$, которое описывает пространственную периодичность в расположении синфазных точек. Рассмотрим пару точек $(x_1, x_2)$, для которых выполняется условие синфазности. Теперь найдем такое расстояние $L$, что при смещении обеих точек на это расстояние вдоль направления распространения волн, новая пара точек $(x_1+L, x_2+L)$ также будет колебаться в фазе.

Для исходной пары точек $(x_1, x_2)$ имеем:$k_2 x_2 - k_1 x_1 = 2\pi n_1$

Для смещенной пары точек $(x_1+L, x_2+L)$ условие синфазности будет:$k_2(x_2+L) - k_1(x_1+L) = 2\pi n_2$Раскроем скобки:$k_2 x_2 + k_2 L - k_1 x_1 - k_1 L = 2\pi n_2$$(k_2 x_2 - k_1 x_1) + (k_2 - k_1)L = 2\pi n_2$

Подставим условие для исходной пары:$2\pi n_1 + (k_2 - k_1)L = 2\pi n_2$$(k_2 - k_1)L = 2\pi (n_2 - n_1)$

Пусть $m = n_2 - n_1$ — целое число, отличное от нуля. Тогда искомые расстояния $L$ определяются выражением:$L = \frac{2\pi m}{k_2 - k_1}$

Подставим выражения для волновых чисел $k_1$ и $k_2$:$k_2 - k_1 = \frac{2\pi\nu}{v_2} - \frac{2\pi\nu}{v_1} = 2\pi\nu \left(\frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_1}\right) = 2\pi\nu \frac{v_1 - v_2}{v_1 v_2}$Поскольку по условию $v_1 > v_2$, разность $v_1 - v_2 > 0$, и следовательно, $k_2 - k_1 > 0$.

Тогда для расстояний $L$ получаем:$L = \frac{2\pi m}{2\pi\nu \frac{v_1 - v_2}{v_1 v_2}} = m \frac{v_1 v_2}{\nu(v_1 - v_2)}$где $m$ — любое целое число, не равное нулю ($m = \pm1, \pm2, ...$). Расстояние по определению является положительной величиной, поэтому искомые расстояния представляют собой набор значений, кратных минимальному расстоянию, которое соответствует $m=1$.

Ответ: Расстояния между точками, колебания в которых происходят в фазе, образуют набор значений, кратных величине $\frac{v_1 v_2}{\nu(v_1 - v_2)}$. Общая формула для этих расстояний: $L_m = m \frac{v_1 v_2}{\nu(v_1 - v_2)}$, где $m$ — любое натуральное число ($m=1, 2, 3, ...$).