Страница 290 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Используя приведённые в п. 1 цифры, рассчитайте, какой диаметр пятна будет на экране, находящемся от лазера на расстоянии 2 м. Расстояние от Земли до Луны 384 000 км.

Для решения этой задачи необходимо использовать данные, которые, судя по формулировке, содержались в предыдущем пункте (п. 1) учебного материала. Обычно в таких задачах приводятся сведения о том, что лазер, установленный на Земле, создает на поверхности Луны световое пятно определенного диаметра. Примем, что в п. 1 было указано, что диаметр пятна на Луне составляет 2 км.

Дано:

Расстояние до экрана, $L_1 = 2$ м

Расстояние от Земли до Луны, $L_2 = 384 \, 000$ км

Диаметр пятна на Луне, $D_2 = 2$ км

$L_2 = 384 \, 000 \text{ км} = 384 \cdot 10^6 \text{ м}$

$D_2 = 2 \text{ км} = 2000 \text{ м}$

Найти:

$D_1$ — диаметр пятна на экране.

Решение:

Распространение лазерного луча в пространстве характеризуется углом расходимости $\alpha$. Для малых углов, что характерно для лазеров, диаметр светового пятна $D$ на расстоянии $L$ от источника можно считать прямо пропорциональным этому расстоянию. Это предположение основано на том, что начальный диаметр пучка пренебрежимо мал по сравнению с диаметром пятна на больших расстояниях.

Математически эта зависимость выражается как:

$D \approx L \cdot \alpha$

Из этого соотношения следует, что отношение диаметра пятна к расстоянию до него является постоянной величиной, равной углу расходимости пучка (выраженному в радианах):

$\alpha = \frac{D}{L} = \text{const}$

Поскольку используется один и тот же лазер, его угол расходимости постоянен. Следовательно, мы можем составить пропорцию, приравняв это отношение для двух разных случаев: для экрана ($L_1, D_1$) и для Луны ($L_2, D_2$):

$\frac{D_1}{L_1} = \frac{D_2}{L_2}$

Из этой пропорции выразим искомый диаметр пятна на экране $D_1$:

$D_1 = L_1 \cdot \frac{D_2}{L_2}$

Теперь подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$D_1 = 2 \text{ м} \cdot \frac{2000 \text{ м}}{384 \cdot 10^6 \text{ м}} = \frac{4000}{384 \cdot 10^6} \text{ м}$

Произведем вычисления:

$D_1 = \frac{4 \cdot 10^3}{3.84 \cdot 10^8} \text{ м} \approx 1.0417 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Для большей наглядности можно перевести результат в миллиметры ($1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$):

$D_1 \approx 1.0417 \cdot 10^{-5} \cdot 1000 \text{ мм} \approx 0.0104 \text{ мм}$

Ответ: диаметр пятна на экране будет равен приблизительно $1.04 \cdot 10^{-5}$ м (или $0.0104$ мм).