Страница 297 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения

1. Определите скорость $v$ и ускорение $a$ электрона на первой боровской орбите, радиус которой $r_1 = 5,29 \cdot 10^{-11}$ м; $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

Дано:

Радиус первой боровской орбиты $r_1 = 5,29 \cdot 10^{-11}$ м
Коэффициент в законе Кулона $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$
Масса электрона $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг (справочное значение)
Элементарный заряд $e \approx 1,60 \cdot 10^{-19}$ Кл (справочное значение)

Найти:

Скорость электрона $v$ - ?
Ускорение электрона $a$ - ?

Решение:

Электрон на первой боровской орбите в атоме водорода движется по окружности. Сила, удерживающая его на орбите, — это кулоновская сила притяжения к ядру (протону). Эта сила является центростремительной.

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила, действующая на электрон, равна:
$F_ц = m_e a = \frac{m_e v^2}{r_1}$
где $a$ — это искомое центростремительное ускорение электрона, $v$ — его скорость, $m_e$ — масса, а $r_1$ — радиус орбиты.

Сила кулоновского взаимодействия между электроном (заряд $-e$) и протоном (заряд $+e$) определяется по формуле:
$F_К = k \frac{|(-e)(+e)|}{r_1^2} = k \frac{e^2}{r_1^2}$

Так как кулоновская сила и есть центростремительная сила ($F_ц = F_К$), мы можем приравнять их выражения:
$\frac{m_e v^2}{r_1} = k \frac{e^2}{r_1^2}$

Из этого равенства сначала найдем скорость электрона $v$. Для этого выразим $v^2$:
$v^2 = \frac{k e^2 r_1}{m_e r_1^2} = \frac{k e^2}{m_e r_1}$
Соответственно, скорость равна:
$v = \sqrt{\frac{k e^2}{m_e r_1}}$

Подставим данные значения в систему СИ:
$v = \sqrt{\frac{(9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot (1,60 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{(9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (5,29 \cdot 10^{-11} \text{ м})}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2,56 \cdot 10^{-38}}{4,819 \cdot 10^{-41}}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v \approx \sqrt{4,78 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2,19 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь найдем ускорение $a$. Ускорение является центростремительным и связано со скоростью и радиусом по формуле:
$a = \frac{v^2}{r_1}$

Используем уже вычисленное значение для квадрата скорости $v^2 \approx 4,78 \cdot 10^{12} (\text{м/с})^2$:
$a = \frac{4,78 \cdot 10^{12} (\text{м/с})^2}{5,29 \cdot 10^{-11} \text{ м}} \approx 0,904 \cdot 10^{23} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 9,04 \cdot 10^{22} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: скорость электрона $v \approx 2,19 \cdot 10^6$ м/с, ускорение электрона $a \approx 9,04 \cdot 10^{22}$ м/с².

2. Определите длину волны света, испускаемого атомом водорода при его переходе из стационарного состояния с энергией $E_4 = -0,85$ эВ ($m = 4$) в состояние с энергией $E_2 = -3,4$ эВ ($n = 2$).

2. Дано:

Энергия атома водорода в начальном стационарном состоянии (при $m=4$): $E_4 = -0,85 \text{ эВ}$
Энергия атома водорода в конечном стационарном состоянии (при $n=2$): $E_2 = -3,4 \text{ эВ}$
Постоянная Планка: $h \approx 6,63 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$
Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$
Элементарный заряд: $e \approx 1,6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в СИ:

$1 \text{ эВ} \approx 1,6 \times 10^{-19} \text{ Дж}$
$E_4 = -0,85 \text{ эВ} = -0,85 \times 1,6 \times 10^{-19} \text{ Дж} = -1,36 \times 10^{-19} \text{ Дж}$
$E_2 = -3,4 \text{ эВ} = -3,4 \times 1,6 \times 10^{-19} \text{ Дж} = -5,44 \times 10^{-19} \text{ Дж}$

Найти:

Длину волны испускаемого света $\lambda$.

Решение:

Согласно постулатам Бора, при переходе электрона в атоме с более высокого энергетического уровня ($E_m$) на более низкий ($E_n$), испускается фотон. Энергия этого фотона $\Delta E$ равна разности энергий начального и конечного состояний.

$\Delta E = E_m - E_n$

В данном случае атом переходит из состояния с главным квантовым числом $m=4$ в состояние с $n=2$. Подставим значения энергий:

$\Delta E = E_4 - E_2 = (-0,85 \text{ эВ}) - (-3,4 \text{ эВ}) = -0,85 + 3,4 = 2,55 \text{ эВ}$

Переведем энергию фотона в джоули (система СИ):

$\Delta E = 2,55 \text{ эВ} \times 1,6 \times 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} = 4,08 \times 10^{-19} \text{ Дж}$

Энергия фотона связана с длиной волны излучения $\lambda$ формулой Планка:

$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$

Отсюда можно выразить длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$

Подставим численные значения постоянных и рассчитанную энергию фотона:

$\lambda = \frac{6,63 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \times 3 \times 10^8 \text{ м/с}}{4,08 \times 10^{-19} \text{ Дж}} = \frac{19,89 \times 10^{-26}}{4,08 \times 10^{-19}} \text{ м} \approx 4,875 \times 10^{-7} \text{ м}$

Результат удобно представить в нанометрах ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda = 4,875 \times 10^{-7} \text{ м} = 487,5 \times 10^{-9} \text{ м} = 487,5 \text{ нм}$

Ответ: длина волны испускаемого света составляет $487,5 \text{ нм}$.

3. Определите напряжённость и потенциал поля ядра атома водорода на расстоянии, соответствующем первой боровской орбите.

Дано:

Ядро атома водорода (протон) с зарядом $q = e$.
Расстояние $r$ равно радиусу первой боровской орбиты $r_1$.

Константы в системе СИ:
Элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Радиус первой боровской орбиты $r_1 \approx 5.3 \cdot 10^{-11}$ м
Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

1. Напряжённость электрического поля $E$.
2. Потенциал электрического поля $\phi$.

Решение:

Ядро атома водорода представляет собой протон, который можно считать точечным зарядом. Электрическое поле, создаваемое этим зарядом, является центральным.

Напряжённость поля

Напряжённость электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, вычисляется по формуле:$E = k \frac{|q|}{r^2}$

Подставим в формулу заряд протона $q = e$ и расстояние, равное радиусу первой боровской орбиты $r = r_1$:$E = k \frac{e}{r_1^2}$

Произведем вычисления:$E \approx (9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}{(5.3 \cdot 10^{-11} \text{ м})^2} = \frac{14.4 \cdot 10^{-10}}{28.09 \cdot 10^{-22}} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} \approx 0.513 \cdot 10^{12} \frac{\text{В}}{\text{м}}$

$E \approx 5.1 \cdot 10^{11}$ В/м

Ответ: Напряжённость поля ядра атома водорода на первой боровской орбите составляет примерно $5.1 \cdot 10^{11}$ В/м.

Потенциал поля

Потенциал электростатического поля точечного заряда $q$ на расстоянии $r$ от него определяется по формуле:$\phi = k \frac{q}{r}$

Подставим значения $q = e$ и $r = r_1$:$\phi = k \frac{e}{r_1}$

Произведем вычисления:$\phi \approx (9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}{5.3 \cdot 10^{-11} \text{ м}} = \frac{14.4 \cdot 10^{-10}}{5.3 \cdot 10^{-11}} \text{ В} \approx 27.2 \text{ В}$

$\phi \approx 27$ В

Ответ: Потенциал поля ядра атома водорода на первой боровской орбите составляет примерно $27$ В.