Номер 1, страница 297 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Глава 11. Атомная физика. Параграф 77. Примеры решения задач по теме «Атомная физика». Задачи для самостоятельного решения - номер 1, страница 297.

Условие.

Задачи для самостоятельного решения

1. Определите скорость $v$ и ускорение $a$ электрона на первой боровской орбите, радиус которой $r_1 = 5,29 \cdot 10^{-11}$ м; $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус первой боровской орбиты $r_1 = 5,29 \cdot 10^{-11}$ м
Коэффициент в законе Кулона $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$
Масса электрона $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг (справочное значение)
Элементарный заряд $e \approx 1,60 \cdot 10^{-19}$ Кл (справочное значение)

Найти:

Скорость электрона $v$ - ?
Ускорение электрона $a$ - ?

Решение:

Электрон на первой боровской орбите в атоме водорода движется по окружности. Сила, удерживающая его на орбите, — это кулоновская сила притяжения к ядру (протону). Эта сила является центростремительной.

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила, действующая на электрон, равна:
$F_ц = m_e a = \frac{m_e v^2}{r_1}$
где $a$ — это искомое центростремительное ускорение электрона, $v$ — его скорость, $m_e$ — масса, а $r_1$ — радиус орбиты.

Сила кулоновского взаимодействия между электроном (заряд $-e$) и протоном (заряд $+e$) определяется по формуле:
$F_К = k \frac{|(-e)(+e)|}{r_1^2} = k \frac{e^2}{r_1^2}$

Так как кулоновская сила и есть центростремительная сила ($F_ц = F_К$), мы можем приравнять их выражения:
$\frac{m_e v^2}{r_1} = k \frac{e^2}{r_1^2}$

Из этого равенства сначала найдем скорость электрона $v$. Для этого выразим $v^2$:
$v^2 = \frac{k e^2 r_1}{m_e r_1^2} = \frac{k e^2}{m_e r_1}$
Соответственно, скорость равна:
$v = \sqrt{\frac{k e^2}{m_e r_1}}$

Подставим данные значения в систему СИ:
$v = \sqrt{\frac{(9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot (1,60 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{(9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (5,29 \cdot 10^{-11} \text{ м})}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2,56 \cdot 10^{-38}}{4,819 \cdot 10^{-41}}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v \approx \sqrt{4,78 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2,19 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь найдем ускорение $a$. Ускорение является центростремительным и связано со скоростью и радиусом по формуле:
$a = \frac{v^2}{r_1}$

Используем уже вычисленное значение для квадрата скорости $v^2 \approx 4,78 \cdot 10^{12} (\text{м/с})^2$:
$a = \frac{4,78 \cdot 10^{12} (\text{м/с})^2}{5,29 \cdot 10^{-11} \text{ м}} \approx 0,904 \cdot 10^{23} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 9,04 \cdot 10^{22} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: скорость электрона $v \approx 2,19 \cdot 10^6$ м/с, ускорение электрона $a \approx 9,04 \cdot 10^{22}$ м/с².