Страница 283 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Посчитайте ускорение электрона, движущегося по орбите радиусом $10^{-8}$ см вокруг ядра атома водорода.

Дано:

$r = 10^{-8} \text{ см} = 10^{-8} \cdot 10^{-2} \text{ м} = 10^{-10} \text{ м}$

$q_e = -e = -1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (заряд электрона)

$q_p = +e = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (заряд ядра атома водорода - протона)

$m_e = 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$ (масса электрона)

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (коэффициент в законе Кулона)

Найти:

$a$ - ускорение электрона.

Решение:

Электрон движется по круговой орбите вокруг ядра атома водорода. Это движение происходит под действием силы электростатического притяжения (силы Кулона) между отрицательно заряженным электроном и положительно заряженным ядром (протоном). Эта сила является центростремительной силой, которая сообщает электрону центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на электрон, равна произведению его массы на ускорение:

$F = m_e \cdot a$

Сила Кулона, действующая между электроном и протоном, находится по формуле:

$F = k \frac{|q_e \cdot q_p|}{r^2}$

Поскольку $|q_e| = |q_p| = e$, формулу можно записать как:

$F = k \frac{e^2}{r^2}$

Так как сила Кулона и есть та сила, которая сообщает ускорение, мы можем приравнять правые части двух уравнений:

$m_e \cdot a = k \frac{e^2}{r^2}$

Из этого уравнения выразим искомое ускорение $a$:

$a = \frac{k \cdot e^2}{m_e \cdot r^2}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и выполним расчет:

$a = \frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (10^{-10} \text{ м})^2}$

$a = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2.56 \cdot 10^{-38}}{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-20}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$a = \frac{23.04 \cdot 10^{-29}}{9.11 \cdot 10^{-51}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$a \approx 2.53 \cdot 10^{22} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: ускорение электрона составляет приблизительно $2.53 \cdot 10^{22} \text{ м/с}^2$.

Подумайте, почему согласно планетарной модели спектр излучения атома должен быть сплошным.

Планетарная (или ядерная) модель атома, предложенная Эрнестом Резерфордом, описывает атом как систему, состоящую из массивного положительно заряженного ядра и движущихся вокруг него по орбитам отрицательно заряженных электронов. Движение электронов поддерживается за счет кулоновского притяжения к ядру.

Противоречие этой модели возникает из-за законов классической электродинамики. Согласно теории Максвелла, любой электрический заряд, движущийся с ускорением, должен непрерывно излучать электромагнитные волны и, следовательно, терять энергию.

Электрон, вращающийся вокруг ядра по орбите, постоянно изменяет направление своей скорости. Такое движение является движением с центростремительным ускорением. Следовательно, в рамках планетарной модели электрон должен был бы непрерывно излучать энергию.

Теряя энергию, электрон не мог бы оставаться на стабильной орбите. Он должен был бы приближаться к ядру, двигаясь по сужающейся спирали. В процессе этого движения радиус его орбиты и частота обращения вокруг ядра изменялись бы непрерывно. Поскольку, согласно классическим представлениям, частота излучаемой электромагнитной волны должна быть равна частоте обращения электрона, то испускаемое излучение содержало бы непрерывный набор всех частот. Такой спектр, содержащий волны всех длин (или частот) в определенном диапазоне, и называется сплошным.

Таким образом, планетарная модель атома в сочетании с законами классической электродинамики неизбежно приводит к выводу о сплошном спектре излучения. Это также предсказывает нестабильность самого атома, так как электрон в конечном итоге должен был бы упасть на ядро примерно за $10^{-11}$ секунды. Эти выводы кардинально противоречат экспериментальным фактам, которые показывают, что атомы стабильны и имеют дискретный (линейчатый) спектр излучения.

Ответ: Согласно планетарной модели, электрон вращается вокруг ядра и, как любой ускоренно движущийся заряд, должен непрерывно излучать электромагнитные волны. Из-за потери энергии он бы двигался по спирали к ядру, при этом его частота вращения изменялась бы плавно и непрерывно. Так как частота излучения в классической физике связана с частотой вращения, спектр этого излучения должен был бы содержать непрерывный набор частот, то есть быть сплошным.

1. Могут ли отрицательно заряженные частицы атома не оказывать заметного влияния на рассеяние $ \alpha $-частиц?

1. Да, могут. Отрицательно заряженными частицами в атоме являются электроны. Рассеяние α-частиц, наблюдаемое в опытах Резерфорда, — это изменение их траектории при пролете через вещество.

Ключевым фактором, определяющим влияние столкновения на траекторию, является соотношение масс взаимодействующих частиц.

Масса электрона ($m_e$) составляет приблизительно $9.11 \cdot 10^{-31}$ кг.

Масса α-частицы ($m_{\alpha}$), которая является ядром атома гелия, составляет приблизительно $6.64 \cdot 10^{-27}$ кг.

Сравним их массы: $ \frac{m_{\alpha}}{m_e} \approx \frac{6.64 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \approx 7300 $

Таким образом, α-частица почти в 7300 раз массивнее электрона. Из-за такой колоссальной разницы в массе взаимодействие α-частицы с электроном оказывает на траекторию α-частицы пренебрежимо малое влияние. Это можно сравнить со столкновением пушечного ядра с горошиной: траектория ядра практически не изменится.

Заметное рассеяние α-частиц, особенно на большие углы, происходит из-за их электростатического взаимодействия (отталкивания) с гораздо более массивным и концентрированным положительным зарядом — ядром атома. Именно анализ такого рассеяния позволил Резерфорду предложить планетарную модель атома.

Ответ: Да, могут. Влияние отрицательно заряженных частиц атома (электронов) на рассеяние α-частиц пренебрежимо мало из-за того, что масса α-частицы примерно в 7300 раз больше массы электрона. Заметное рассеяние вызывает взаимодействие с массивным положительно заряженным ядром.

2. Почему $\alpha$-частицы не могли бы рассеиваться на большие углы, если бы положительный заряд атома был распределён по всему его объёму?

2. Этот вопрос касается фундаментального различия между двумя историческими моделями строения атома: моделью Томсона («пудинг с изюмом») и планетарной моделью Резерфорда.

В модели Томсона предполагалось, что атом представляет собой шар, по всему объему которого равномерно распределен положительный заряд. Внутри этого положительно заряженного «шара» находятся отрицательно заряженные электроны. Вся система в целом электрически нейтральна.

Рассеяние α-частиц (положительно заряженных ядер атома гелия) происходит из-за электростатического (кулоновского) отталкивания между ними и положительным зарядом атома. Чтобы α-частица отклонилась на большой угол, она должна испытать очень сильное, резкое отталкивание. Такое возможно, только если α-частица приблизится на очень малое расстояние к другому массивному и концентрированному положительному заряду.

Если бы положительный заряд был распределен по всему объему атома, как в модели Томсона, то рассеяние на большие углы было бы невозможным по следующим причинам:

1. Слабая сила отталкивания. Положительный заряд, «размазанный» по большому объему (объем атома примерно в $10^{15}$ раз больше объема ядра), создал бы очень слабое электрическое поле. Пролетающая сквозь такой атом α-частица взаимодействовала бы с этим распределенным зарядом, но сила отталкивания в любой точке ее траектории была бы слишком мала, чтобы существенно изменить направление ее движения.
2. Отсутствие центра концентрации силы. Согласно электростатике, электрическое поле внутри равномерно заряженного шара растет от нуля в центре до максимума на поверхности. Даже если α-частица пролетает через центр такого атома, она не испытывает действия мощной концентрированной силы. Кроме того, отрицательно заряженные электроны внутри атома дополнительно ослабляли бы (экранировали) отталкивающее действие положительного заряда.
3. Незначительное изменение импульса. Отклонение на большой угол требует передачи α-частице значительного импульса в поперечном направлении. Это, в свою очередь, требует действия очень большой силы. Слабая, распределенная по большому объему сила не способна создать необходимый импульс, чтобы «развернуть» быструю и тяжелую α-частицу. В результате α-частицы могли бы испытывать лишь незначительные суммарные отклонения от множества слабых столкновений, но никогда не рассеивались бы назад.

Именно тот факт, что в экспериментах Резерфорда некоторые α-частицы рассеивались на углы более 90°, стал неопровержимым доказательством того, что положительный заряд и почти вся масса атома сконцентрированы в очень малом объеме — ядре. Только в этом случае прицельное «попадание» α-частицы в область вблизи ядра приводит к возникновению гигантской силы отталкивания, способной отбросить частицу назад.

Ответ: Если бы положительный заряд был распределен по всему объему атома, то его плотность и создаваемое им электрическое поле были бы слишком малы. Сила кулоновского отталкивания, действующая на α-частицу, была бы недостаточной, чтобы значительно изменить ее траекторию и отклонить на большой угол. Для такого отклонения необходима концентрация всего положительного заряда в очень малом объеме (в ядре).

3. Какие положения планетарной модели атома не согласуются с законами классической физики?

Решение

Планетарная модель атома, предложенная Эрнестом Резерфордом в 1911 году, несмотря на свою наглядность и успешное объяснение результатов опытов по рассеянию альфа-частиц, вступала в резкое противоречие с фундаментальными законами классической физики, в частности, с классической электродинамикой Максвелла. Существуют два основных положения этой модели, которые не согласуются с классическими представлениями.

1. Устойчивость атома

Согласно планетарной модели, в центре атома находится положительно заряженное ядро, а вокруг него по круговым орбитам, подобно планетам вокруг Солнца, движутся отрицательно заряженные электроны. Однако, с точки зрения классической электродинамики, любое движение заряженного тела с ускорением должно сопровождаться непрерывным излучением электромагнитных волн и, следовательно, потерей энергии. Движение электрона по орбите является движением с центростремительным ускорением. Это означает, что электрон должен непрерывно излучать энергию.

Теряя энергию, электрон не смог бы оставаться на стабильной орбите. Его траектория представляла бы собой спираль, и он за очень короткое время (расчеты показывают, что время "падения" составляет порядка $10^{-11}$ с) должен был бы упасть на ядро. Таким образом, атом, согласно классической физике, должен быть неустойчивым, что полностью противоречит нашему опыту, ведь атомы и состоящее из них вещество стабильны.

2. Характер атомных спектров

Второе противоречие связано с характером спектров излучения и поглощения атомов. Если бы электрон действительно двигался по спирали, теряя энергию, то частота его вращения вокруг ядра менялась бы непрерывно. Соответственно, частота испускаемых им электромагнитных волн также менялась бы непрерывно. Это означает, что спектр излучения такого атома должен был бы быть сплошным (непрерывным), охватывающим весь диапазон частот от начальной до бесконечности.

Однако экспериментальные данные показывают, что атомы испускают и поглощают электромагнитные волны только на строго определённых, дискретных частотах. Их спектры являются не сплошными, а линейчатыми, то есть состоят из отдельных узких линий. Планетарная модель в сочетании с законами классической физики не могла объяснить происхождение этих линейчатых спектров.

Эти фундаментальные противоречия послужили толчком к созданию новой, квантовой теории строения атома, первым шагом в которой стала модель атома Нильса Бора, а затем и полноценная квантовая механика.

Ответ:

Положения планетарной модели атома, не согласующиеся с законами классической физики, следующие:

1. Невозможность объяснить устойчивость атома: согласно классической электродинамике, вращающийся вокруг ядра электрон должен непрерывно излучать энергию, терять её и за кратчайшее время упасть на ядро, чего в действительности не происходит.
2. Невозможность объяснить линейчатый характер атомных спектров: модель предсказывает непрерывный (сплошной) спектр излучения, так как частота вращения падающего на ядро электрона изменялась бы непрерывно, в то время как в экспериментах наблюдаются дискретные (линейчатые) спектры.