Страница 278 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

6. Красная граница фотоэффекта $ \lambda_{\text{max}} = 700 \text{ нм} $. Отношение скоростей вылетающих электронов при освещении светом с длинами волн $ \lambda_1 $ и $ \lambda_2 $ равно $ 3/4 $. Определите $ \lambda_2 $, если $ \lambda_1 = 600 \text{ нм} $.

Дано:

$ \lambda_{max} = 700 \text{ нм} $
$ \lambda_1 = 600 \text{ нм} $
$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{4} $

$ \lambda_{max} = 700 \times 10^{-9} \text{ м} $
$ \lambda_1 = 600 \times 10^{-9} \text{ м} $

Найти:

$ \lambda_2 $

Решение:

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта имеет вид:

$ E_{ф} = A_{вых} + E_к $

где $ E_{ф} $ — энергия падающего фотона, $ A_{вых} $ — работа выхода электрона из металла, $ E_к $ — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона связана с длиной волны $ \lambda $ соотношением $ E_{ф} = \frac{hc}{\lambda} $, где $ h $ — постоянная Планка, $ c $ — скорость света.

Работа выхода определяется красной границей фотоэффекта $ \lambda_{max} $: $ A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{max}} $.

Максимальная кинетическая энергия электрона равна $ E_к = \frac{m_e v^2}{2} $, где $ m_e $ — масса электрона, $ v $ — его скорость.

Запишем уравнение Эйнштейна для двух случаев освещения светом с длинами волн $ \lambda_1 $ и $ \lambda_2 $.

1. Для длины волны $ \lambda_1 $:

$ \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{\lambda_{max}} + \frac{m_e v_1^2}{2} $

Отсюда выразим кинетическую энергию $ E_{к1} $:

$ E_{к1} = \frac{m_e v_1^2}{2} = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right) $

2. Для длины волны $ \lambda_2 $:

$ \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{hc}{\lambda_{max}} + \frac{m_e v_2^2}{2} $

Отсюда выразим кинетическую энергию $ E_{к2} $:

$ E_{к2} = \frac{m_e v_2^2}{2} = hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right) $

Найдем отношение кинетических энергий. Из условия задачи известно отношение скоростей $ \frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{4} $. Тогда отношение кинетических энергий равно:

$ \frac{E_{к1}}{E_{к2}} = \frac{\frac{m_e v_1^2}{2}}{\frac{m_e v_2^2}{2}} = \left( \frac{v_1}{v_2} \right)^2 = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16} $

Теперь составим отношение выражений для кинетических энергий, полученных из уравнения фотоэффекта:

$ \frac{E_{к1}}{E_{к2}} = \frac{hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right)}{hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right)} = \frac{\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{max}}}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{max}}} $

Приравняем два выражения для отношения энергий и подставим известные значения. В вычислениях можно использовать длины волн в нанометрах, так как единицы измерения сократятся.

$ \frac{9}{16} = \frac{\frac{1}{600} - \frac{1}{700}}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{700}} $

Вычислим числитель дроби в правой части:

$ \frac{1}{600} - \frac{1}{700} = \frac{7 - 6}{4200} = \frac{1}{4200} $

Подставим это значение в уравнение:

$ \frac{9}{16} = \frac{\frac{1}{4200}}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{700}} $

Выразим знаменатель дроби из правой части:

$ \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{700} = \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4200} = \frac{16}{37800} = \frac{2}{4725} $

Теперь выразим $ \frac{1}{\lambda_2} $:

$ \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{700} + \frac{2}{4725} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ 18900 $:

$ \frac{1}{\lambda_2} = \frac{27}{18900} + \frac{8}{18900} = \frac{27 + 8}{18900} = \frac{35}{18900} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{35}{18900} = \frac{5 \cdot 7}{27 \cdot 7 \cdot 100} = \frac{5}{2700} = \frac{1}{540} $

Таким образом, $ \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{540 \text{ нм}} $, откуда получаем:

$ \lambda_2 = 540 \text{ нм} $

Ответ:

длина волны $ \lambda_2 $ равна 540 нм.

7. Какой максимальный заряд приобретает золотой шарик радиусом $r = 0,1 \, \text{м}$ при освещении его поверхности светом с длиной волны $\lambda = 2 \cdot 10^{-7} \, \text{м}$? Работа выхода электронов из золота $4,59 \, \text{эВ}$.

Дано:

Радиус шарика, $r = 0,1$ м
Длина волны света, $\lambda = 2 \cdot 10^{-7}$ м
Работа выхода электронов из золота, $A_{вых} = 4,59$ эВ

Перевод в систему СИ:
$A_{вых} = 4,59 \text{ эВ} = 4,59 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 7,353 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Постоянные:
Постоянная Планка, $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с
Элементарный заряд, $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл
Коэффициент в законе Кулона, $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

Максимальный заряд шарика, $q_{max}$.

Решение:

При освещении золотого шарика светом происходит фотоэлектрический эффект — вырывание электронов с его поверхности. В результате шарик теряет электроны и приобретает положительный заряд $q$.

Этот заряд создает на поверхности шарика электрический потенциал $\phi$. По мере увеличения заряда потенциал также растет. Положительно заряженный шарик притягивает вылетающие электроны, совершая работу по их возвращению. Эмиссия электронов прекратится, когда работа электрического поля по возвращению электрона на поверхность шарика станет равной максимальной кинетической энергии, с которой электроны покидают поверхность.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов $E_{k,max}$ определяется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{k,max} = E_{ф} - A_{вых}$

где $E_{ф}$ — энергия падающего фотона, а $A_{вых}$ — работа выхода электрона.

Энергия фотона вычисляется по формуле:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Работа, которую должен совершить электрон, чтобы преодолеть притяжение заряженного шарика и улететь на бесконечность, равна:

$A_{эл} = e \phi_{max}$

где $e$ — элементарный заряд, а $\phi_{max}$ — максимальный потенциал, который приобретает шарик.

Условие прекращения фотоэффекта (когда самые быстрые электроны уже не могут покинуть шарик):

$E_{k,max} = A_{эл}$

$\frac{hc}{\lambda} - A_{вых} = e \phi_{max}$

Потенциал уединенного заряженного шара радиусом $r$ с зарядом $q_{max}$ на его поверхности равен:

$\phi_{max} = k \frac{q_{max}}{r}$

Подставим это выражение в условие прекращения фотоэффекта:

$\frac{hc}{\lambda} - A_{вых} = e k \frac{q_{max}}{r}$

Отсюда выразим максимальный заряд $q_{max}$:

$q_{max} = \frac{r}{ek} \left( \frac{hc}{\lambda} - A_{вых} \right)$

Сначала вычислим энергию фотона:

$E_{ф} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \approx 9,939 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Поскольку $E_{ф} > A_{вых}$ ($9,939 \cdot 10^{-19} > 7,353 \cdot 10^{-19}$), фотоэффект возможен.

Теперь подставим все значения в формулу для заряда:

$q_{max} = \frac{0,1 \text{ м}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н·м}^2}{\text{Кл}^2}} \left( 9,939 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} - 7,353 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \right)$

$q_{max} = \frac{0,1}{14,418 \cdot 10^{-10}} \cdot (2,586 \cdot 10^{-19}) \text{ Кл}$

$q_{max} \approx 0,006935 \cdot 10^{10} \cdot 2,586 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

$q_{max} \approx 0,0179 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \approx 1,8 \cdot 10^{-11} \text{ Кл}$

Ответ: максимальный заряд, который приобретает шарик, равен $q_{max} \approx 1,8 \cdot 10^{-11}$ Кл.

8. Определите давление света на стенки электрической лампочки мощностью 100 Вт. Диаметр колбы лампы 5 см. Стенки лампы пропускают 85 % излучаемого спиралью света, остальное поглощают. Считайте, что на излучение идёт 9 % потребляемой лампой мощности.

Дано:

Потребляемая мощность лампы, $P = 100$ Вт
Диаметр колбы, $d = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
Доля мощности, идущая на излучение, $\eta = 9 \% = 0.09$
Коэффициент пропускания света стенками, $\tau = 85 \% = 0.85$
Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

$p$ — давление света на стенки лампочки.

Решение:

1. Найдем мощность светового излучения ($P_{изл}$), которую создает спираль лампы. Она составляет 9% от потребляемой мощности:

$P_{изл} = P \cdot \eta = 100 \text{ Вт} \cdot 0.09 = 9 \text{ Вт}$

2. Считая, что спираль является точечным источником в центре сферической колбы, излучение равномерно распределяется по всей внутренней поверхности колбы. Найдем площадь этой поверхности ($S$):

$S = 4\pi r^2 = 4\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi d^2$

$S = \pi \cdot (0.05 \text{ м})^2 = 0.0025\pi \text{ м}^2 \approx 0.007854 \text{ м}^2$

3. Определим интенсивность света ($I$), падающего на внутренние стенки колбы:

$I = \frac{P_{изл}}{S} = \frac{9 \text{ Вт}}{0.0025\pi \text{ м}^2}$

4. Давление света на стенки создается той частью излучения, которая поглощается. Коэффициент поглощения ($\alpha$) найдем из того, что 85% света пропускается:

$\alpha = 1 - \tau = 1 - 0.85 = 0.15$

5. Давление света ($p$) при нормальном падении на поглощающую поверхность определяется как отношение интенсивности поглощенного света ($I_{погл}$) к скорости света ($c$):

$p = \frac{I_{погл}}{c}$

Интенсивность поглощенного света равна:

$I_{погл} = I \cdot \alpha$

Объединим формулы:

$p = \frac{I \cdot \alpha}{c} = \frac{P_{изл} \cdot \alpha}{S \cdot c} = \frac{P \cdot \eta \cdot (1-\tau)}{\pi d^2 \cdot c}$

6. Подставим числовые значения и рассчитаем давление:

$p = \frac{9 \text{ Вт} \cdot 0.15}{\pi \cdot (0.05 \text{ м})^2 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{1.35}{0.0025\pi \cdot 3 \cdot 10^8} \text{ Па}$

$p = \frac{1.35}{0.0075\pi \cdot 10^8} \text{ Па} \approx \frac{1.35}{2.356 \cdot 10^6} \text{ Па} \approx 5.73 \cdot 10^{-7} \text{ Па}$

Ответ: давление света на стенки лампочки составляет приблизительно $5.73 \cdot 10^{-7}$ Па.

1. Чему равна максимальная скорость фотоэлектронов, вылетающих с поверхности цезия под действием света с длиной волны $\lambda = 500$ нм, если красная граница фотоэффекта для цезия соответствует $\lambda_{\text{кр}} = 620$ нм?

Дано:

Длина волны падающего света, $ \lambda = 500 \text{ нм} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м} $
Красная граница фотоэффекта, $ \lambda_{кр} = 620 \text{ нм} = 620 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6.2 \cdot 10^{-7} \text{ м} $
Постоянная Планка, $ h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} $
Скорость света в вакууме, $ c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} $
Масса электрона, $ m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} $

Найти:

Максимальную скорость фотоэлектронов, $ v_{max} $.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта, которое связывает энергию падающего фотона, работу выхода электрона из металла и максимальную кинетическую энергию фотоэлектрона:

$ E_{ф} = A_{вых} + E_{к_{max}} $

где $ E_{ф} $ - энергия фотона, $ A_{вых} $ - работа выхода, $ E_{к_{max}} $ - максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона определяется его длиной волны $ \lambda $:

$ E_{ф} = \frac{hc}{\lambda} $

Работа выхода $ A_{вых} $ - это минимальная энергия, необходимая для вырывания электрона с поверхности металла. Она соответствует энергии фотона с длиной волны, равной красной границе фотоэффекта $ \lambda_{кр} $:

$ A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{кр}} $

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона связана с его максимальной скоростью $ v_{max} $ следующим образом:

$ E_{к_{max}} = \frac{m_e v_{max}^2}{2} $

Подставим выражения для энергии фотона и работы выхода в уравнение Эйнштейна:

$ \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{кр}} + \frac{m_e v_{max}^2}{2} $

Выразим из этого уравнения кинетическую энергию:

$ \frac{m_e v_{max}^2}{2} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{кр}} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right) $

Теперь выразим максимальную скорость $ v_{max} $:

$ v_{max}^2 = \frac{2hc}{m_e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right) $

$ v_{max} = \sqrt{\frac{2hc}{m_e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right)} $

Подставим числовые значения в формулу:

$ v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \left( \frac{1}{5 \cdot 10^{-7} \text{ м}} - \frac{1}{6.2 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \right)} $

Проведем вычисления:

$ \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} = \frac{1}{5 \cdot 10^{-7}} - \frac{1}{6.2 \cdot 10^{-7}} = \frac{10^7}{5} - \frac{10^7}{6.2} = 10^7 \left( 0.2 - 0.1613 \right) \approx 0.0387 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1} $

$ \frac{2hc}{m_e} = \frac{2 \cdot 6.63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{9.11 \cdot 10^{-31}} = \frac{39.78 \cdot 10^{-26}}{9.11 \cdot 10^{-31}} \approx 4.366 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж} \cdot \text{м}}{\text{кг}} $

$ v_{max} = \sqrt{4.366 \cdot 10^5 \cdot 0.0387 \cdot 10^7} = \sqrt{0.169 \cdot 10^{12}} = \sqrt{16.9 \cdot 10^{10}} $

$ v_{max} \approx 4.11 \cdot 10^5 \text{ м/с} $

Ответ: максимальная скорость фотоэлектронов равна примерно $ 4.11 \cdot 10^5 \text{ м/с} $.

2. Фотон с длиной волны, соответствующей красной границе фотоэффекта, выбивает электрон из металлической пластинки (катода) в сосуде, из которого откачан воздух. Электрон разгоняется однородным электрическим полем с напряжённостью $E = 5 \cdot 10^4$ В/м. Какой должна быть длина пути электрона $s$ в электрическом поле, чтобы он разогнался до скорости, составляющей $10 \%$ от скорости света в вакууме? Релятивистские эффекты не учитывайте.

Дано:

Напряжённость электрического поля $E = 5 \cdot 10^4$ В/м
Конечная скорость электрона $v = 0.1 \cdot c$
Начальная скорость электрона $v_0 = 0$ м/с
Справочные данные:
Масса электрона $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Длина пути электрона $s$.

Решение:

В условии сказано, что фотон имеет длину волны, соответствующую красной границе фотоэффекта. Это означает, что энергия падающего фотона равна работе выхода электрона из металла ($E_{фотона} = A_{вых}$). Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта, кинетическая энергия выбитого электрона в этом случае равна нулю.

$h\nu = A_{вых} + K_e$

Поскольку $h\nu = A_{вых}$, то кинетическая энергия $K_e = 0$. Следовательно, начальная скорость электрона $v_0 = 0$.

Электрон, покинув катод, разгоняется однородным электрическим полем. Работа $A$, совершаемая электрическим полем над электроном, идет на увеличение его кинетической энергии. По теореме о кинетической энергии:

$A = \Delta K = K - K_0$

Работа электрического поля вычисляется как $A = qEd$, где $q$ - заряд частицы, $E$ - напряженность поля, $d$ - пройденный путь. В нашем случае $q=e$ (модуль заряда электрона) и $d=s$.

$A = eEs$

Начальная кинетическая энергия $K_0 = 0$. Конечная кинетическая энергия $K$ (релятивистские эффекты не учитываем) находится по формуле:

$K = \frac{m_e v^2}{2}$

Приравниваем работу поля и изменение кинетической энергии:

$eEs = \frac{m_e v^2}{2}$

Из этого уравнения выражаем искомую длину пути $s$:

$s = \frac{m_e v^2}{2eE}$

Вычислим конечную скорость электрона $v$:

$v = 0.1 \cdot c = 0.1 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 3 \cdot 10^7$ м/с.

Теперь подставим все известные значения в формулу для $s$:

$s = \frac{(9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^7 \text{ м/с})^2}{2 \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (5 \cdot 10^4 \text{ В/м})}$

$s = \frac{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{14}}{2 \cdot 1.6 \cdot 5 \cdot 10^{-15}} \text{ м}$

$s = \frac{81.99 \cdot 10^{-17}}{16 \cdot 10^{-15}} \text{ м}$

$s \approx 5.12 \cdot 10^{-2}$ м.

Переводя в сантиметры, получаем $s \approx 5.12$ см.

Ответ: $s \approx 0.051$ м (или 5.1 см).

3. Для разгона космических аппаратов и коррекции их орбит предложено использовать солнечный парус — скреплённый с аппаратом лёгкий экран большой площади из тонкой плёнки, которая зеркально отражает солнечный свет. Определите ускорение, сообщаемое аппарату массой 500 кг (включая массу паруса), если парус имеет форму квадрата размерами $100 \times 100$ м. Мощность солнечного излучения, падающего на $1 \text{ м}^2$ поверхности, перпендикулярной солнечным лучам, составляет $1370 \text{ Вт}/\text{м}^2$.

Дано:
Масса аппарата, $m = 500$ кг
Размеры паруса (квадрат), $L = 100$ м
Мощность солнечного излучения (интенсивность), $I = 1370 \text{ Вт/м}^2$
Парус является идеальным зеркалом (зеркально отражает свет).
Свет падает перпендикулярно поверхности паруса.
Скорость света в вакууме, $c = 3 \times 10^8$ м/с.

Найти:
Ускорение аппарата, $a$.

Решение:
Ускорение аппарату сообщается за счет силы светового давления, которое солнечный свет оказывает на парус. Эта сила возникает из-за того, что фотоны, составляющие свет, передают свой импульс парусу при отражении от него.
1. Сначала найдем площадь солнечного паруса. Парус имеет форму квадрата со стороной $L$, поэтому его площадь $S$ равна:
$S = L^2 = (100 \text{ м})^2 = 10000 \text{ м}^2 = 10^4 \text{ м}^2$.
2. Теперь определим силу светового давления. Энергия света, падающего на парус за промежуток времени $\Delta t$, равна:
$\Delta E = I \cdot S \cdot \Delta t$.
Импульс, который несут эти падающие фотоны, связан с их энергией соотношением $p = E/c$. Таким образом, импульс падающего света:
$p_{пад} = \frac{\Delta E}{c} = \frac{I \cdot S \cdot \Delta t}{c}$.
По условию, парус зеркально отражает свет. Это значит, что фотоны упруго отскакивают от поверхности. При падении перпендикулярно поверхности, импульс отраженных фотонов будет равен по модулю и противоположен по направлению импульсу падающих фотонов $p_{отр} = -p_{пад}$.
Изменение импульса света за время $\Delta t$ составляет:
$\Delta p_{свет} = p_{отр} - p_{пад} = (-p_{пад}) - p_{пад} = -2 p_{пад} = - \frac{2 \cdot I \cdot S \cdot \Delta t}{c}$.
Согласно закону сохранения импульса, импульс, переданный парусу, равен по модулю и противоположен по знаку изменению импульса света:
$\Delta p_{парус} = - \Delta p_{свет} = \frac{2 \cdot I \cdot S \cdot \Delta t}{c}$.
Сила, действующая на парус, по определению, равна скорости изменения импульса:
$F = \frac{\Delta p_{парус}}{\Delta t} = \frac{2 \cdot I \cdot S}{c}$.
3. Подставим числовые значения для вычисления силы:
$F = \frac{2 \cdot 1370 \text{ Вт/м}^2 \cdot 10^4 \text{ м}^2}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{2.74 \cdot 10^7}{3 \cdot 10^8} \text{ Н} \approx 0.09133 \text{ Н}$.
4. Наконец, используя второй закон Ньютона, найдем ускорение, которое эта сила сообщает аппарату массой $m$:
$a = \frac{F}{m}$.
$a = \frac{0.09133 \text{ Н}}{500 \text{ кг}} \approx 0.00018266 \text{ м/с}^2$.
Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: $a \approx 1.83 \times 10^{-4} \text{ м/с}^2$.

ПОВТОРИТЕ МАТЕРИАЛ ГЛАВЫ 10 ПО СЛЕДУЮЩЕМУ ПЛАНУ:

1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение.

1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение.

Решение

Для ответа на данный вопрос необходимо вспомнить и сформулировать основные определения и физические величины из раздела физики, изучающего электромагнитные колебания и волны. Ниже приведены ключевые понятия и физические величины с их определениями, относящиеся к главе 10.

Ответ:

Основные понятия

• Электромагнитные колебания — это периодические или близкие к периодическим изменения связанных друг с другом электрических и магнитных величин (таких как заряд, сила тока, напряжение, напряжённость электрического поля, индукция магнитного поля).
• Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания. Состоит из последовательно или параллельно соединённых катушки индуктивности ($L$) и конденсатора ($C$). Идеальный контур не имеет активного сопротивления.
• Свободные электромагнитные колебания — электромагнитные колебания, происходящие в системе (например, в идеальном колебательном контуре) за счёт первоначально сообщённой ей энергии, при отсутствии внешних воздействий.
• Затухающие электромагнитные колебания — колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается из-за потерь энергии. В реальном колебательном контуре энергия расходуется на нагревание проводников (из-за их активного сопротивления) и на излучение электромагнитных волн.
• Вынужденные электромагнитные колебания — незатухающие колебания, которые возникают в цепи под действием внешней периодической электродвижущей силы (ЭДС).
• Переменный ток — электрический ток, который периодически изменяется по величине и направлению с течением времени. Чаще всего рассматривается ток, изменяющийся по гармоническому (синусоидальному или косинусоидальному) закону.
• Электромагнитная волна — это процесс распространения в пространстве переменного электромагнитного поля. Электромагнитные волны являются поперечными: векторы напряжённости электрического поля $\vec{E}$ и магнитной индукции $\vec{B}$ в волне взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению её распространения.
• Шкала электромагнитных волн — непрерывная последовательность частот (или длин волн) электромагнитных излучений. Включает (в порядке увеличения частоты): радиоволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновское излучение и гамма-излучение.

Физические величины

• Период колебаний ($T$) — наименьший промежуток времени, через который значения всех физических величин, характеризующих колебательный процесс, повторяются. Для идеального колебательного контура период определяется формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$. Единица измерения — секунда (с).
• Частота колебаний ($\nu$) — число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Величина, обратная периоду: $\nu = 1/T$. Единица измерения — герц (Гц).
• Циклическая (круговая) частота ($\omega$) — число полных колебаний за $2\pi$ секунд. Связана с периодом и частотой соотношениями: $\omega = 2\pi/T = 2\pi\nu$. Для идеального контура собственная циклическая частота равна $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$. Единица измерения — радиан в секунду (рад/с).
• Амплитуда — максимальное значение, которое принимает колеблющаяся величина (например, амплитуда заряда $q_m$, амплитуда силы тока $I_m$, амплитуда напряжения $U_m$).
• Индуктивность ($L$) — физическая величина, характеризующая способность проводника (катушки) создавать магнитное поле при протекании по нему электрического тока. Единица измерения — генри (Гн).
• Электроёмкость ($C$) — физическая величина, являющаяся мерой способности проводника или системы проводников (конденсатора) накапливать электрический заряд. Единица измерения — фарад (Ф).
• Энергия электрического поля ($W_E$) — энергия, запасённая в электрическом поле заряженного конденсатора. Рассчитывается по формуле: $W_E = \frac{q^2}{2C} = \frac{CU^2}{2}$. Единица измерения — джоуль (Дж).
• Энергия магнитного поля ($W_M$) — энергия, запасённая в магнитном поле катушки индуктивности при протекании по ней тока. Рассчитывается по формуле: $W_M = \frac{LI^2}{2}$. Единица измерения — джоуль (Дж).
• Длина волны ($\lambda$) — расстояние, которое волна проходит за один период колебаний. Связана со скоростью распространения волны $v$ и периодом $T$ (или частотой $\nu$) соотношением $\lambda = v \cdot T = v/\nu$. Единица измерения — метр (м).
• Скорость света в вакууме ($c$) — скорость распространения электромагнитных волн в вакууме. Является фундаментальной физической постоянной. $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы.

Поскольку в вопросе не уточняется, о каких именно законах и формулах идет речь, будут рассмотрены наиболее фундаментальные законы классической механики — законы Ньютона и закон всемирного тяготения.

Первый закон Ньютона (закон инерции)

Формулировка: Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют другие тела или действие этих тел скомпенсировано.

Иными словами, в инерциальной системе отсчета, если равнодействующая всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то ускорение этого тела равно нулю, а его скорость остается постоянной.

Основная формула, выражающая этот закон:

Если $\vec{F}_{рез} = \sum_{i} \vec{F}_i = 0$, то $\vec{a} = 0$ и $\vec{v} = \text{const}$

где $\vec{F}_{рез}$ — равнодействующая всех сил, $\vec{a}$ — ускорение тела, $\vec{v}$ — его скорость.

Ответ: Если $\sum \vec{F}_i = 0$, то $\vec{v} = \text{const}$.

Второй закон Ньютона (основной закон динамики)

Формулировка: В инерциальной системе отсчета ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к нему сил и обратно пропорционально его массе.

Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора равнодействующей силы.

Основная формула в векторном виде:

$\vec{F}_{рез} = m\vec{a}$

где $\vec{F}_{рез}$ — равнодействующая сила, $m$ — масса тела, $\vec{a}$ — ускорение тела.

Более общая формулировка этого закона, записанная через импульс тела (учитывает возможность изменения массы):

$\vec{F}_{рез} = \frac{d\vec{p}}{dt}$

где $\vec{p} = m\vec{v}$ — импульс тела, $t$ — время.

Ответ: $\vec{F}_{рез} = m\vec{a}$.

Третий закон Ньютона

Формулировка: Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

Важно помнить, что эти силы приложены к разным телам, поэтому они не уравновешивают друг друга. Также эти силы всегда имеют одинаковую физическую природу (например, обе гравитационные или обе упругие).

Основная формула, выражающая этот закон:

$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$

где $\vec{F}_{12}$ — сила, с которой первое тело действует на второе, а $\vec{F}_{21}$ — сила, с которой второе тело действует на первое.

Ответ: $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$.

Закон всемирного тяготения

Формулировка: Два любых тела (рассматриваемые как материальные точки) притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Основная формула для модуля силы тяготения:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $F$ — модуль силы тяготения, $m_1$ и $m_2$ — массы взаимодействующих тел, $r$ — расстояние между их центрами масс, а $G$ — гравитационная постоянная, равная приблизительно $6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}$.

Ответ: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$.

3. Укажите единицы физических величин. Выразите их через основные единицы СИ.

Поскольку в задании не указаны конкретные физические величины, приведем примеры для наиболее распространенных производных единиц СИ.

а) Сила

Решение

Единица измерения силы в СИ — Ньютон (Н). Согласно второму закону Ньютона, сила равна произведению массы на ускорение ($F=ma$). Основными единицами СИ являются: для массы — килограмм (кг), для длины — метр (м), для времени — секунда (с). Единица ускорения, соответственно, м/с². Следовательно, единицу силы можно выразить через основные единицы:

$1 \text{ Н} = 1 \text{ кг} \cdot 1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м} \cdot \text{с}^{-2}$

Ответ: Единица измерения силы — Ньютон (Н). $1 \text{ Н} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м} \cdot \text{с}^{-2}$.

б) Работа и Энергия

Решение

Единица измерения работы и энергии в СИ — Джоуль (Дж). Работа определяется как произведение силы на перемещение ($A=F \cdot s$). Используя выражение для Ньютона из предыдущего пункта, получим:

$1 \text{ Дж} = 1 \text{ Н} \cdot 1 \text{ м} = (1 \text{ кг} \cdot \text{м} \cdot \text{с}^{-2}) \cdot \text{м} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2}$

Ответ: Единица измерения работы и энергии — Джоуль (Дж). $1 \text{ Дж} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2}$.

в) Мощность

Решение

Единица измерения мощности в СИ — Ватт (Вт). Мощность — это работа, совершаемая в единицу времени ($P = A/t$). Используя выражение для Джоуля, получим:

$1 \text{ Вт} = \frac{1 \text{ Дж}}{1 \text{ с}} = \frac{1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2}}{1 \text{ с}} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-3}$

Ответ: Единица измерения мощности — Ватт (Вт). $1 \text{ Вт} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-3}$.

г) Давление

Решение

Единица измерения давления в СИ — Паскаль (Па). Давление определяется как сила, действующая на единицу площади ($p = F/S$). Используя выражение для Ньютона, получим:

$1 \text{ Па} = \frac{1 \text{ Н}}{1 \text{ м}^2} = \frac{1 \text{ кг} \cdot \text{м} \cdot \text{с}^{-2}}{1 \text{ м}^2} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^{-1} \cdot \text{с}^{-2}$

Ответ: Единица измерения давления — Паскаль (Па). $1 \text{ Па} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^{-1} \cdot \text{с}^{-2}$.

д) Электрический заряд

Решение

Единица измерения электрического заряда в СИ — Кулон (Кл). Заряд определяется через силу тока и время ($q = I \cdot t$). Сила тока является одной из основных величин СИ и измеряется в Амперах (А).

$1 \text{ Кл} = 1 \text{ А} \cdot 1 \text{ с}$

Ответ: Единица измерения электрического заряда — Кулон (Кл). $1 \text{ Кл} = 1 \text{ А} \cdot \text{с}$.

е) Электрическое напряжение

Решение

Единица измерения электрического напряжения (разности потенциалов) в СИ — Вольт (В). Напряжение определяется как работа по перемещению единичного заряда ($U = A/q$). Используя выражения для Джоуля и Кулона, получим:

$1 \text{ В} = \frac{1 \text{ Дж}}{1 \text{ Кл}} = \frac{1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2}}{1 \text{ А} \cdot \text{с}} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-3} \cdot \text{А}^{-1}$

Ответ: Единица измерения электрического напряжения — Вольт (В). $1 \text{ В} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-3} \cdot \text{А}^{-1}$.

ж) Электрическое сопротивление

Решение

Единица измерения электрического сопротивления в СИ — Ом (Ом). Сопротивление определяется из закона Ома для участка цепи ($R = U/I$). Используя выражения для Вольта и Ампера (основная единица), получим:

$1 \text{ Ом} = \frac{1 \text{ В}}{1 \text{ А}} = \frac{1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-3} \cdot \text{А}^{-1}}{1 \text{ А}} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-3} \cdot \text{А}^{-2}$

Ответ: Единица измерения электрического сопротивления — Ом (Ом). $1 \text{ Ом} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-3} \cdot \text{А}^{-2}$.

4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов.

Справедливость физических законов подтверждается многочисленными экспериментами. Ниже описаны некоторые основные опыты, лежащие в основе фундаментальных разделов физики.

Опыты, подтверждающие законы Ньютона

Законы Ньютона являются основой классической механики. Их справедливость можно проверить на опыте.

Проверка второго закона Ньютона ($F=ma$): Для проверки этого закона часто используют установку, состоящую из тележки, движущейся по горизонтальной поверхности с малым трением (например, по воздушной дорожке). Тележка массой $m$ соединена нитью, перекинутой через блок, с грузом массой $m_{груз}$. Сила, приводящая систему в движение, — это сила тяжести, действующая на груз, $F = m_{груз}g$. Ускорение системы $a$ измеряется с помощью датчиков движения (например, фотоворот).

Проводят две серии опытов:
1. Изменяют движущую силу $F$, сохраняя общую массу системы ($m_{сист} = m + m_{груз}$) постоянной. Для этого перекладывают грузы с тележки на подвес. Измерения показывают, что ускорение прямо пропорционально силе: $a \propto F$.
2. Изменяют массу системы $m_{сист}$, оставляя движущую силу $F$ постоянной (масса $m_{груз}$ не меняется). Для этого на тележку добавляют дополнительные грузы. Измерения показывают, что ускорение обратно пропорционально массе: $a \propto 1/m_{сист}$.

Проверка третьего закона Ньютона: Для демонстрации этого закона можно использовать два датчика силы, соединенных друг с другом. Когда два человека тянут датчики в противоположные стороны, подключенные к компьютеру приборы показывают, что в любой момент времени силы, с которыми они действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$. Другой наглядный пример — взаимодействие двух тележек. Если на одной из них закрепить упругую пластину (пружину) и столкнуть их, то тележки разъедутся с ускорениями, обратно пропорциональными их массам, что также следует из равенства сил взаимодействия.

Ответ: Эксперименты с тележкой на воздушной дорожке подтверждают прямую пропорциональность ускорения силе и обратную пропорциональность массе ($a=F/m$). Опыты с датчиками силы или взаимодействующими тележками доказывают, что силы взаимодействия двух тел всегда равны по модулю и противоположны по направлению.

Опыт, подтверждающий закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса гласит, что векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую систему, есть величина постоянная.

Экспериментальная проверка: Опыт также удобно проводить на воздушной дорожке для минимизации внешних сил (трения). Используются две тележки массами $m_1$ и $m_2$. С помощью фотоворот измеряются скорости тележек до и после их столкновения.
Например, рассмотрим неупругое столкновение: тележка $m_1$ движется со скоростью $v_1$ навстречу покоящейся тележке $m_2$ ($v_2=0$). После столкновения они сцепляются (например, с помощью пластилина или липучки) и движутся вместе со скоростью $u$.

Импульс системы до столкновения равен $P_{до} = m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = m_1 v_1$.
Импульс системы после столкновения равен $P_{после} = (m_1 + m_2)u$.
Измерив массы и скорости, можно убедиться, что в пределах погрешности измерений выполняется равенство $P_{до} = P_{после}$.

Ответ: Опыты по столкновению тел (например, тележек на воздушной дорожке) показывают, что суммарный импульс системы тел до взаимодействия равен суммарному импульсу после взаимодействия, что подтверждает закон сохранения импульса.

Опыт, подтверждающий закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения ($F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$) был экспериментально подтвержден и уточнен в опыте Генри Кавендиша в 1798 году. Этот опыт позволил впервые измерить гравитационную постоянную $G$.

Установка (крутильные весы): На тонкой упругой нити подвешено лёгкое коромысло с двумя маленькими свинцовыми шариками на концах. К этим шарикам подносят два больших свинцовых шара. Силы гравитационного притяжения между большими и малыми шарами создают вращающий момент, который закручивает нить. Угол закручивания нити измеряется по смещению светового зайчика, отражённого от зеркальца, прикреплённого к нити. Зная упругие свойства нити (её модуль кручения), можно определить величину силы притяжения.

Измерив массы шаров ($m_1$ и $m_2$), расстояние между их центрами ($r$) и силу их притяжения ($F$), Кавендиш смог вычислить значение гравитационной постоянной $G$.

Ответ: Опыт Кавендиша с крутильными весами позволил измерить слабую силу гравитационного притяжения между телами в лабораторных условиях и вычислить гравитационную постоянную, тем самым подтвердив справедливость закона всемирного тяготения.

Опыт, подтверждающий закон Ома для участка цепи

Закон Ома устанавливает, что сила тока $I$ на участке цепи прямо пропорциональна напряжению $U$ на этом участке и обратно пропорциональна его сопротивлению $R$.

Экспериментальная проверка: Собирается электрическая цепь, состоящая из источника постоянного тока с регулируемым напряжением, исследуемого проводника (резистора), амперметра для измерения силы тока (включается последовательно) и вольтметра для измерения напряжения (включается параллельно резистору).

Изменяя напряжение на источнике, снимают несколько пар показаний силы тока $I$ и напряжения $U$. Затем строят график зависимости силы тока от напряжения (вольт-амперную характеристику). Для металлических проводников (при постоянной температуре) этот график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Это означает, что отношение $U/I$ остаётся постоянным. Эта постоянная величина и есть сопротивление проводника $R$.

Ответ: Экспериментальное измерение силы тока и напряжения на участке цепи при их изменении показывает, что их отношение $U/I$ является постоянной величиной (сопротивлением), а вольт-амперная характеристика линейна, что подтверждает закон Ома.

Опыты, подтверждающие законы геометрической оптики

Фундаментальными законами геометрической оптики являются закон отражения и закон преломления света.

Проверка закона отражения: На горизонтальный диск с нанесенной шкалой углов (оптический диск) помещают плоское зеркало. С помощью источника узкого пучка света (например, лазерной указки или осветителя с щелью) направляют луч на зеркало. Наблюдают падающий и отражённый лучи. Измеряют угол падения $\alpha$ (угол между падающим лучом и перпендикуляром к зеркалу в точке падения) и угол отражения $\beta$ (угол между отражённым лучом и тем же перпендикуляром). Опыт показывает, что при любом угле падения угол отражения равен углу падения ($\alpha = \beta$), а падающий луч, отражённый луч и перпендикуляр лежат в одной плоскости.

Проверка закона преломления: В аналогичном опыте зеркало заменяют на плоскопараллельную стеклянную пластину или полуцилиндр. Луч света направляют на границу раздела двух сред (воздух-стекло). Измеряют угол падения $\alpha$ и угол преломления $\gamma$ (угол между преломлённым лучом и перпендикуляром). Проводя измерения для разных углов падения, можно установить, что отношение синусов этих углов остаётся постоянным: $\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = n$, где $n$ — показатель преломления второй среды относительно первой.

Ответ: Опыты с использованием оптического диска и источников света наглядно демонстрируют выполнение законов отражения (равенство углов падения и отражения) и преломления (постоянство отношения синусов углов падения и преломления) света на границе раздела двух сред.