Номер 1, страница 278 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 73. Примеры решения задач по теме «Световые кванты. Фотоэффект». Глава 10. Световые кванты - номер 1, страница 278.

Условие.

1. Чему равна максимальная скорость фотоэлектронов, вылетающих с поверхности цезия под действием света с длиной волны $\lambda = 500$ нм, если красная граница фотоэффекта для цезия соответствует $\lambda_{\text{кр}} = 620$ нм?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина волны падающего света, $ \lambda = 500 \text{ нм} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м} $
Красная граница фотоэффекта, $ \lambda_{кр} = 620 \text{ нм} = 620 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6.2 \cdot 10^{-7} \text{ м} $
Постоянная Планка, $ h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} $
Скорость света в вакууме, $ c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} $
Масса электрона, $ m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} $

Найти:

Максимальную скорость фотоэлектронов, $ v_{max} $.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта, которое связывает энергию падающего фотона, работу выхода электрона из металла и максимальную кинетическую энергию фотоэлектрона:

$ E_{ф} = A_{вых} + E_{к_{max}} $

где $ E_{ф} $ - энергия фотона, $ A_{вых} $ - работа выхода, $ E_{к_{max}} $ - максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона определяется его длиной волны $ \lambda $:

$ E_{ф} = \frac{hc}{\lambda} $

Работа выхода $ A_{вых} $ - это минимальная энергия, необходимая для вырывания электрона с поверхности металла. Она соответствует энергии фотона с длиной волны, равной красной границе фотоэффекта $ \lambda_{кр} $:

$ A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{кр}} $

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона связана с его максимальной скоростью $ v_{max} $ следующим образом:

$ E_{к_{max}} = \frac{m_e v_{max}^2}{2} $

Подставим выражения для энергии фотона и работы выхода в уравнение Эйнштейна:

$ \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{кр}} + \frac{m_e v_{max}^2}{2} $

Выразим из этого уравнения кинетическую энергию:

$ \frac{m_e v_{max}^2}{2} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{кр}} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right) $

Теперь выразим максимальную скорость $ v_{max} $:

$ v_{max}^2 = \frac{2hc}{m_e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right) $

$ v_{max} = \sqrt{\frac{2hc}{m_e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right)} $

Подставим числовые значения в формулу:

$ v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \left( \frac{1}{5 \cdot 10^{-7} \text{ м}} - \frac{1}{6.2 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \right)} $

Проведем вычисления:

$ \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} = \frac{1}{5 \cdot 10^{-7}} - \frac{1}{6.2 \cdot 10^{-7}} = \frac{10^7}{5} - \frac{10^7}{6.2} = 10^7 \left( 0.2 - 0.1613 \right) \approx 0.0387 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1} $

$ \frac{2hc}{m_e} = \frac{2 \cdot 6.63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{9.11 \cdot 10^{-31}} = \frac{39.78 \cdot 10^{-26}}{9.11 \cdot 10^{-31}} \approx 4.366 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж} \cdot \text{м}}{\text{кг}} $

$ v_{max} = \sqrt{4.366 \cdot 10^5 \cdot 0.0387 \cdot 10^7} = \sqrt{0.169 \cdot 10^{12}} = \sqrt{16.9 \cdot 10^{10}} $

$ v_{max} \approx 4.11 \cdot 10^5 \text{ м/с} $

Ответ: максимальная скорость фотоэлектронов равна примерно $ 4.11 \cdot 10^5 \text{ м/с} $.