Номер 6, страница 278 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Глава 10. Световые кванты. Параграф 73. Примеры решения задач по теме «Световые кванты. Фотоэффект». Задачи для самостоятельного решения - номер 6, страница 278.

Условие.

6. Красная граница фотоэффекта $ \lambda_{\text{max}} = 700 \text{ нм} $. Отношение скоростей вылетающих электронов при освещении светом с длинами волн $ \lambda_1 $ и $ \lambda_2 $ равно $ 3/4 $. Определите $ \lambda_2 $, если $ \lambda_1 = 600 \text{ нм} $.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$ \lambda_{max} = 700 \text{ нм} $
$ \lambda_1 = 600 \text{ нм} $
$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{4} $

$ \lambda_{max} = 700 \times 10^{-9} \text{ м} $
$ \lambda_1 = 600 \times 10^{-9} \text{ м} $

Найти:

$ \lambda_2 $

Решение:

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта имеет вид:

$ E_{ф} = A_{вых} + E_к $

где $ E_{ф} $ — энергия падающего фотона, $ A_{вых} $ — работа выхода электрона из металла, $ E_к $ — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона связана с длиной волны $ \lambda $ соотношением $ E_{ф} = \frac{hc}{\lambda} $, где $ h $ — постоянная Планка, $ c $ — скорость света.

Работа выхода определяется красной границей фотоэффекта $ \lambda_{max} $: $ A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{max}} $.

Максимальная кинетическая энергия электрона равна $ E_к = \frac{m_e v^2}{2} $, где $ m_e $ — масса электрона, $ v $ — его скорость.

Запишем уравнение Эйнштейна для двух случаев освещения светом с длинами волн $ \lambda_1 $ и $ \lambda_2 $.

1. Для длины волны $ \lambda_1 $:

$ \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{\lambda_{max}} + \frac{m_e v_1^2}{2} $

Отсюда выразим кинетическую энергию $ E_{к1} $:

$ E_{к1} = \frac{m_e v_1^2}{2} = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right) $

2. Для длины волны $ \lambda_2 $:

$ \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{hc}{\lambda_{max}} + \frac{m_e v_2^2}{2} $

Отсюда выразим кинетическую энергию $ E_{к2} $:

$ E_{к2} = \frac{m_e v_2^2}{2} = hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right) $

Найдем отношение кинетических энергий. Из условия задачи известно отношение скоростей $ \frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{4} $. Тогда отношение кинетических энергий равно:

$ \frac{E_{к1}}{E_{к2}} = \frac{\frac{m_e v_1^2}{2}}{\frac{m_e v_2^2}{2}} = \left( \frac{v_1}{v_2} \right)^2 = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16} $

Теперь составим отношение выражений для кинетических энергий, полученных из уравнения фотоэффекта:

$ \frac{E_{к1}}{E_{к2}} = \frac{hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right)}{hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{max}} \right)} = \frac{\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{max}}}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{max}}} $

Приравняем два выражения для отношения энергий и подставим известные значения. В вычислениях можно использовать длины волн в нанометрах, так как единицы измерения сократятся.

$ \frac{9}{16} = \frac{\frac{1}{600} - \frac{1}{700}}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{700}} $

Вычислим числитель дроби в правой части:

$ \frac{1}{600} - \frac{1}{700} = \frac{7 - 6}{4200} = \frac{1}{4200} $

Подставим это значение в уравнение:

$ \frac{9}{16} = \frac{\frac{1}{4200}}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{700}} $

Выразим знаменатель дроби из правой части:

$ \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{700} = \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4200} = \frac{16}{37800} = \frac{2}{4725} $

Теперь выразим $ \frac{1}{\lambda_2} $:

$ \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{700} + \frac{2}{4725} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ 18900 $:

$ \frac{1}{\lambda_2} = \frac{27}{18900} + \frac{8}{18900} = \frac{27 + 8}{18900} = \frac{35}{18900} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{35}{18900} = \frac{5 \cdot 7}{27 \cdot 7 \cdot 100} = \frac{5}{2700} = \frac{1}{540} $

Таким образом, $ \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{540 \text{ нм}} $, откуда получаем:

$ \lambda_2 = 540 \text{ нм} $

Ответ:

длина волны $ \lambda_2 $ равна 540 нм.