Номер 7, страница 278 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 73. Примеры решения задач по теме «Световые кванты. Фотоэффект». Глава 10. Световые кванты - номер 7, страница 278.

Условие.

7. Какой максимальный заряд приобретает золотой шарик радиусом $r = 0,1 \, \text{м}$ при освещении его поверхности светом с длиной волны $\lambda = 2 \cdot 10^{-7} \, \text{м}$? Работа выхода электронов из золота $4,59 \, \text{эВ}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус шарика, $r = 0,1$ м
Длина волны света, $\lambda = 2 \cdot 10^{-7}$ м
Работа выхода электронов из золота, $A_{вых} = 4,59$ эВ

Перевод в систему СИ:
$A_{вых} = 4,59 \text{ эВ} = 4,59 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 7,353 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Постоянные:
Постоянная Планка, $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с
Элементарный заряд, $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл
Коэффициент в законе Кулона, $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

Максимальный заряд шарика, $q_{max}$.

Решение:

При освещении золотого шарика светом происходит фотоэлектрический эффект — вырывание электронов с его поверхности. В результате шарик теряет электроны и приобретает положительный заряд $q$.

Этот заряд создает на поверхности шарика электрический потенциал $\phi$. По мере увеличения заряда потенциал также растет. Положительно заряженный шарик притягивает вылетающие электроны, совершая работу по их возвращению. Эмиссия электронов прекратится, когда работа электрического поля по возвращению электрона на поверхность шарика станет равной максимальной кинетической энергии, с которой электроны покидают поверхность.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов $E_{k,max}$ определяется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{k,max} = E_{ф} - A_{вых}$

где $E_{ф}$ — энергия падающего фотона, а $A_{вых}$ — работа выхода электрона.

Энергия фотона вычисляется по формуле:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Работа, которую должен совершить электрон, чтобы преодолеть притяжение заряженного шарика и улететь на бесконечность, равна:

$A_{эл} = e \phi_{max}$

где $e$ — элементарный заряд, а $\phi_{max}$ — максимальный потенциал, который приобретает шарик.

Условие прекращения фотоэффекта (когда самые быстрые электроны уже не могут покинуть шарик):

$E_{k,max} = A_{эл}$

$\frac{hc}{\lambda} - A_{вых} = e \phi_{max}$

Потенциал уединенного заряженного шара радиусом $r$ с зарядом $q_{max}$ на его поверхности равен:

$\phi_{max} = k \frac{q_{max}}{r}$

Подставим это выражение в условие прекращения фотоэффекта:

$\frac{hc}{\lambda} - A_{вых} = e k \frac{q_{max}}{r}$

Отсюда выразим максимальный заряд $q_{max}$:

$q_{max} = \frac{r}{ek} \left( \frac{hc}{\lambda} - A_{вых} \right)$

Сначала вычислим энергию фотона:

$E_{ф} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \approx 9,939 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Поскольку $E_{ф} > A_{вых}$ ($9,939 \cdot 10^{-19} > 7,353 \cdot 10^{-19}$), фотоэффект возможен.

Теперь подставим все значения в формулу для заряда:

$q_{max} = \frac{0,1 \text{ м}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н·м}^2}{\text{Кл}^2}} \left( 9,939 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} - 7,353 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \right)$

$q_{max} = \frac{0,1}{14,418 \cdot 10^{-10}} \cdot (2,586 \cdot 10^{-19}) \text{ Кл}$

$q_{max} \approx 0,006935 \cdot 10^{10} \cdot 2,586 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

$q_{max} \approx 0,0179 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \approx 1,8 \cdot 10^{-11} \text{ Кл}$

Ответ: максимальный заряд, который приобретает шарик, равен $q_{max} \approx 1,8 \cdot 10^{-11}$ Кл.