Страница 63 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Подумайте, какие значения начальной фазы $\varphi_0$ могут быть при разных способах возбуждения колебаний.

Значение начальной фазы колебаний $\phi_0$ полностью определяется начальными условиями, то есть положением $x_0$ и скоростью $v_0$ колеблющегося тела в начальный момент времени $t=0$. Уравнение гармонических колебаний в общем виде записывается как:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Положение и скорость в момент $t=0$ выражаются через параметры колебаний следующим образом:

$x_0 = x(0) = A \cos(\phi_0)$

$v_0 = v(0) = -A\omega \sin(\phi_0)$

Из этих соотношений видно, что начальная фаза $\phi_0$ зависит от способа возбуждения колебаний. Рассмотрим несколько типичных примеров.

1. Возбуждение колебаний смещением тела из положения равновесия

В этом случае тело сначала смещают на некоторое расстояние от положения равновесия, а затем отпускают без начальной скорости ($v_0=0$).

а) Смещение в положительную сторону до максимального значения ($x_0 = A, v_0 = 0$)

Тело смещают на расстояние, равное амплитуде, $x_0 = A$, и отпускают. Подставим начальные условия в уравнения:

$A = A \cos(\phi_0) \implies \cos(\phi_0) = 1$

$0 = -A\omega \sin(\phi_0) \implies \sin(\phi_0) = 0$

Этим условиям соответствует значение фазы $\phi_0 = 0$ (или $2\pi k$, где $k$ — целое число).

Ответ: начальная фаза $\phi_0 = 0$.

б) Смещение в отрицательную сторону до максимального значения ($x_0 = -A, v_0 = 0$)

Тело смещают на расстояние $x_0 = -A$ и отпускают. Подставим начальные условия в уравнения:

$-A = A \cos(\phi_0) \implies \cos(\phi_0) = -1$

$0 = -A\omega \sin(\phi_0) \implies \sin(\phi_0) = 0$

Этим условиям соответствует значение фазы $\phi_0 = \pi$ (или $\pi + 2\pi k$, где $k$ — целое число).

Ответ: начальная фаза $\phi_0 = \pi$.

2. Возбуждение колебаний толчком в положении равновесия

В этом случае в начальный момент времени тело находится в положении равновесия ($x_0 = 0$), и ему сообщается некоторая начальная скорость $v_0$.

а) Толчок в положительном направлении ($x_0=0, v_0>0$)

Тело находится в положении равновесия ($x_0 = 0$), и ему сообщают начальную скорость в положительном направлении ($v_0 > 0$). Подставим начальные условия в уравнения:

$0 = A \cos(\phi_0) \implies \cos(\phi_0) = 0$

$v_0 = -A\omega \sin(\phi_0)$

Поскольку $v_0 > 0$, $A > 0$ и $\omega > 0$, из второго уравнения следует, что $\sin(\phi_0)$ должен быть отрицательным ($\sin(\phi_0) < 0$). Единственный угол в основном диапазоне, для которого $\cos(\phi_0) = 0$ и $\sin(\phi_0) < 0$, это $\phi_0 = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).

Ответ: начальная фаза $\phi_0 = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).

б) Толчок в отрицательном направлении ($x_0=0, v_0<0$)

Тело находится в положении равновесия ($x_0=0$), и ему сообщают начальную скорость в отрицательном направлении ($v_0 < 0$). Подставим начальные условия:

$0 = A \cos(\phi_0) \implies \cos(\phi_0) = 0$

$v_0 = -A\omega \sin(\phi_0)$

Поскольку $v_0 < 0$, из второго уравнения следует, что $\sin(\phi_0)$ должен быть положительным ($\sin(\phi_0) > 0$). Единственный угол в основном диапазоне, для которого $\cos(\phi_0) = 0$ и $\sin(\phi_0) > 0$, это $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: начальная фаза $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$.

3. Общий случай произвольного возбуждения

В общем случае колебания могут быть возбуждены из произвольного начального положения $x_0$ с произвольной начальной скоростью $v_0$. Тогда начальная фаза $\phi_0$ может принимать любое значение из диапазона от $0$ до $2\pi$ (или от $-\pi$ до $\pi$). Её можно найти, решив систему уравнений для начальных условий. Например, разделив второе уравнение на первое, получим выражение для тангенса начальной фазы:

$\tan(\phi_0) = \frac{\sin(\phi_0)}{\cos(\phi_0)} = \frac{-v_0/(A\omega)}{x_0/A} = -\frac{v_0}{\omega x_0}$

Конкретное значение угла $\phi_0$ определяется знаками $x_0$ и $v_0$, которые, в свою очередь, определяют знаки $\cos(\phi_0)$ и $\sin(\phi_0)$.

Ответ: начальная фаза $\phi_0$ может принимать любое значение, которое определяется конкретным начальным положением $x_0$ и начальной скоростью $v_0$ колеблющегося тела.