Страница 58 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. Какие колебания называют свободными?

1. Свободными (или собственными) колебаниями называют колебания, которые совершает система под действием внутренних сил после того, как она была выведена из положения равновесия и предоставлена самой себе. Это означает, что после начального воздействия (например, толчка или смещения) на систему не действуют внешние периодически изменяющиеся силы, поддерживающие колебания.

Характерной чертой свободных колебаний является то, что они происходят на определённой, так называемой собственной частоте, которая зависит только от физических свойств самой колебательной системы. Например, для пружинного маятника собственная циклическая частота равна $ \omega_0 = \sqrt{k/m} $, где $k$ — жесткость пружины, а $m$ — масса груза. Для математического маятника эта частота составляет $ \omega_0 = \sqrt{g/l} $, где $g$ — ускорение свободного падения и $l$ — длина подвеса.

В реальных условиях из-за неизбежного наличия сил трения или сопротивления среды (например, воздуха) свободные колебания всегда являются затухающими, то есть их амплитуда со временем уменьшается. Примерами могут служить качели, которые останавливаются через некоторое время после толчка, или затухающий звук гитарной струны после щипка.

Ответ: Свободные колебания — это колебания, происходящие в системе под действием только внутренних сил после выведения её из состояния устойчивого равновесия.

2. При каких условиях в системе возникают свободные колебания?

Свободные колебания — это колебания, которые происходят в системе под действием внутренних сил после того, как система была выведена из состояния устойчивого равновесия. Для возникновения свободных колебаний необходимо выполнение следующих условий:

1. Наличие у системы положения устойчивого равновесия.

   Это такое состояние, в котором система может находиться в покое неограниченно долго. При любом отклонении от этого положения в системе возникают внутренние силы, стремящиеся вернуть ее в исходное состояние. Например, для математического маятника это нижняя точка траектории, а для груза на пружине — положение, в котором сила упругости пружины уравновешивает силу тяжести.

2. Наличие возвращающей силы.

   При выведении системы из положения равновесия должна возникать сила, которая всегда направлена обратно к этому положению. Эта сила и заставляет тело совершать колебательные движения. В простейшем случае (для гармонических колебаний) эта сила пропорциональна смещению тела $x$ от положения равновесия и направлена в противоположную сторону: $F = -kx$, где $k$ — коэффициент, характеризующий упругие свойства системы (например, жесткость пружины).

3. Сообщение системе начальной энергии.

   Чтобы колебания начались, систему необходимо вывести из состояния равновесия. Это можно сделать, либо сместив тело на некоторое расстояние и отпустив его (сообщив системе начальную потенциальную энергию), либо толкнув тело в положении равновесия (сообщив ему начальную кинетическую энергию). Без этого начального воздействия система так и останется в покое.

4. Малое трение (диссипация энергии) в системе.

   В идеальной колебательной системе, чтобы свободные колебания были незатухающими и продолжались бесконечно долго, силы трения и сопротивления среды должны отсутствовать. В этом случае полная механическая энергия системы сохраняется. В реальных системах всегда присутствуют силы трения, которые приводят к постепенному уменьшению амплитуды колебаний — такие колебания называют затухающими. Однако, если трение достаточно мало, система может совершить большое количество колебаний, прежде чем остановится, и такие колебания также относят к свободным.

Ответ: Свободные колебания возникают при одновременном выполнении следующих условий: 1) система должна иметь положение устойчивого равновесия; 2) при отклонении от этого положения должна возникать возвращающая сила; 3) системе должна быть сообщена начальная энергия (путем смещения или толчка); 4) силы трения и сопротивления в системе должны быть пренебрежимо малы.

3. Чему равно перемещение шарика (см. рис. 3.1) за одно полное колебание?

Решение

По определению, полное колебание — это процесс, по завершении которого колеблющееся тело возвращается в свое исходное состояние (то есть в ту же точку пространства с той же скоростью). Например, если шарик, подвешенный на нити (маятник), начинает движение из крайнего правого положения, то одно полное колебание будет состоять из его движения в крайнее левое положение и обратно в исходное крайнее правое положение.

Перемещение — это векторная физическая величина, равная изменению положения тела в пространстве. Она определяется как вектор, проведенный из начального положения тела в его конечное положение. Формула для перемещения:

$\Delta \vec{s} = \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}$

где $\vec{r}_{1}$ — радиус-вектор начального положения, а $\vec{r}_{2}$ — радиус-вектор конечного положения.

Поскольку за одно полное колебание тело возвращается в свою начальную точку, его начальное и конечное положения совпадают. Таким образом, $\vec{r}_{1} = \vec{r}_{2}$.

Подставляя это в формулу для перемещения, получаем:

$\Delta \vec{s} = \vec{r}_{1} - \vec{r}_{1} = 0$

Следовательно, перемещение шарика за одно полное колебание равно нулю.

Стоит отметить, что пройденный телом путь (скалярная величина, равная длине траектории) за одно полное колебание не равен нулю. Если амплитуда колебаний равна $A$, то путь за одно полное колебание равен $4A$. Однако в задаче спрашивается именно о перемещении.

Ответ: перемещение шарика за одно полное колебание равно нулю.

1. Верно(-ы) утверждение(-я):

Свободным является колебание

А. груза, подвешенного к пружине, после однократного его отклонения от положения равновесия

Б. мембраны громкоговорителя во время работы приёмника

1) только А 2) только Б 3) А и Б 4) ни А, ни Б

Решение

Для ответа на вопрос необходимо определить, какие из предложенных колебаний являются свободными, а какие — вынужденными.

Свободные колебания — это колебания, которые происходят в системе под действием внутренних сил после того, как система была выведена из положения равновесия. Система совершает колебания с собственной (природной) частотой и без воздействия внешних периодических сил.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически изменяющейся силы. Частота вынужденных колебаний равна частоте внешней силы.

Проанализируем каждое утверждение.

А. груза, подвешенного к пружине, после однократного его отклонения от положения равновесия

В данном случае груз на пружине (пружинный маятник) выводят из положения равновесия один раз и отпускают. После этого система колеблется только под действием внутренних сил: силы упругости пружины и силы тяжести. Внешняя периодическая сила отсутствует. Следовательно, это пример свободных колебаний. Утверждение А является верным.

Б. мембраны громкоговорителя во время работы приёмника

Колебания мембраны громкоговорителя происходят под действием переменной силы со стороны электромагнита, на который подается электрический сигнал от приёмника. Эта сила является внешней и периодической. Мембрана колеблется с частотой, заданной этим электрическим сигналом. Следовательно, это пример вынужденных колебаний. Утверждение Б является неверным.

Таким образом, верным является только утверждение А. Среди предложенных вариантов ответа этому соответствует вариант 1.

Ответ: 1

2. Математический маятник совершает колебания под действием силы

1) тяжести

2) упругости нити

3) тяжести и силы упругости нити

4) тяготения

Решение

Математический маятник — это идеализированная модель, представляющая собой материальную точку (груз), подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити. Чтобы определить, под действием каких сил происходят его колебания, необходимо рассмотреть все силы, приложенные к грузу.

На груз математического маятника действуют две силы (если пренебречь сопротивлением воздуха):
1. Сила тяжести ($F_{тяж}$) – направлена вертикально вниз. Эта сила обусловлена притяжением груза к Земле.
2. Сила упругости нити (или сила натяжения нити, $T$) – направлена вдоль нити от груза к точке подвеса. Эта сила не дает грузу упасть.

Колебания маятника являются результатом совместного действия этих двух сил. Сила тяжести создает возвращающий момент, стремясь вернуть маятник в положение равновесия (самую нижнюю точку траектории). Сила натяжения нити удерживает груз на постоянном расстоянии от точки подвеса, заставляя его двигаться по дуге окружности. Векторная сумма силы тяжести и силы упругости нити сообщает грузу ускорение, которое и определяет его колебательное движение.

Если бы действовала только сила тяжести, тело бы просто падало вниз. Если бы действовала только сила упругости нити, ничего бы не происходило без внешней силы. Таким образом, для возникновения колебаний необходимо наличие обеих сил.

Проанализируем предложенные варианты ответа:

1) тяжести – неверно, так как не учитывается сила упругости нити, которая ограничивает движение и заставляет тело двигаться по дуге.

2) упругости нити – неверно, так как эта сила сама по себе не может вызвать колебания; необходима сила тяжести, чтобы создать возвращающую составляющую.

3) тяжести и силы упругости нити – верно, так как именно совокупность этих двух сил приводит к колебательному движению маятника.

4) тяготения – сила тяготения в данном контексте является синонимом силы тяжести, поэтому этот вариант, как и первый, является неполным.

Ответ: 3

3. Выберите формулу, связывающую угол отклонения нити и смещение тела при колебаниях математического маятника.

1) $x = \alpha l$

2) $x = -\alpha l$

3) $x = g/l$

4) $x = -g\alpha$

Решение

Рассмотрим математический маятник — идеализированную систему, состоящую из материальной точки массой $m$, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длиной $l$. Колебания происходят в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Пусть нить маятника отклонена от вертикального положения равновесия на угол $\alpha$. Смещение тела от положения равновесия — это расстояние $x$ по горизонтали от вертикальной оси до текущего положения тела.

Из геометрических соображений, рассматривая прямоугольный треугольник, где гипотенузой является длина нити $l$, а катетом, противолежащим углу $\alpha$, — смещение $x$, можно записать тригонометрическое соотношение:

$ \sin(\alpha) = \frac{x}{l} $

Отсюда можно выразить смещение $x$:

$ x = l \sin(\alpha) $

В физике колебания математического маятника обычно рассматриваются как гармонические, что справедливо только для малых углов отклонения. Для малых углов $\alpha$, выраженных в радианах, выполняется приближенное равенство (аппроксимация):

$ \sin(\alpha) \approx \alpha $

Подставив это приближение в формулу для смещения, мы получаем искомую связь между смещением и углом отклонения для малых колебаний:

$ x = l \alpha $ или, что то же самое, $ x = \alpha l $.

Проанализируем предложенные варианты:

1. $ x = \alpha l $ — эта формула соответствует нашему выводу для малых колебаний.
2. $ x = -\alpha l $ — неверно. Знак должен быть положительным, так как при отклонении в одну сторону (положительный угол), смещение происходит в ту же сторону (положительное смещение).
3. $ x = g/l $ — неверно. Эта формула неверна с точки зрения размерностей. Смещение $x$ измеряется в метрах [м], а величина $g/l$ имеет размерность $(\text{м/с}^2)/\text{м} = 1/\text{с}^2$. Эта величина равна квадрату циклической частоты колебаний $\omega^2$.
4. $ x = -g\alpha $ — неверно. Эта формула также неверна с точки зрения размерностей. Величина $-g\alpha$ имеет размерность ускорения (м/с²). Для малых углов она описывает проекцию ускорения маятника на горизонтальную ось ($a_x \approx -g\alpha$), а не его смещение.

Следовательно, правильная формула находится под номером 1.

Ответ: 1) $ x = \alpha l $.

4. Могут ли в какой-то момент времени совпадать направления скорости и ускорения при колебаниях пружинного маятника?

1) ответ зависит от положения маятника в начальный момент времени

2) не могут ни в один из моментов времени

3) могут в моменты максимальной скорости

4) могут при движении от точки максимального отклонения к положению равновесия

Решение

Чтобы определить, когда могут совпадать направления скорости и ускорения пружинного маятника, проанализируем его движение.

1. Направление ускорения. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела $\vec{a}$ сонаправлено с равнодействующей всех сил, приложенных к телу. Для пружинного маятника основной силой, вызывающей колебания, является сила упругости пружины. По закону Гука, сила упругости $\vec{F}_{упр}$ всегда направлена к положению равновесия, против смещения $\vec{x}$: $\vec{F}_{упр} = -k\vec{x}$, где $k$ – жёсткость пружины. Следовательно, ускорение маятника $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{упр}}{m} = -\frac{k}{m}\vec{x}$ также всегда направлено к положению равновесия.

2. Направление скорости. Вектор скорости $\vec{v}$ всегда направлен по касательной к траектории движения, то есть в ту сторону, куда в данный момент движется маятник.

3. Совпадение направлений. Для того чтобы направления векторов скорости $\vec{v}$ и ускорения $\vec{a}$ совпали, необходимо, чтобы они оба были направлены в одну сторону. Поскольку вектор ускорения $\vec{a}$ всегда направлен к положению равновесия, то и вектор скорости $\vec{v}$ должен быть направлен к положению равновесия. Это происходит, когда маятник движется из точки максимального отклонения (где он меняет направление движения) обратно к центру (положению равновесия). В этом случае движение является ускоренным.

Рассмотрим движение маятника на разных участках:

• Движение от положения равновесия к максимальному отклонению: скорость направлена от центра, а ускорение — к центру. Направления противоположны.
• Движение от точки максимального отклонения к положению равновесия: и скорость, и ускорение направлены к положению равновесия. Их направления совпадают.

Проанализируем предложенные варианты ответов:

1) ответ зависит от положения маятника в начальный момент времени - неверно. Возможность совпадения направлений является фундаментальным свойством гармонических колебаний, а не следствием конкретных начальных условий.

2) не могут ни в один из моментов времени - неверно, так как они совпадают при движении к положению равновесия.

3) могут в моменты максимальной скорости - неверно. Максимальная скорость достигается в положении равновесия ($x=0$), где сила упругости и, следовательно, ускорение равны нулю ($\vec{a}=0$). Нулевой вектор не имеет направления.

4) могут при движении от точки максимального отклонения к положению равновесия - верно. На этом участке траектории и скорость, и ускорение направлены к положению равновесия.

Ответ: 4) могут при движении от точки максимального отклонения к положению равновесия

5. При колебаниях математического маятника ускорение материальной точки перпендикулярно её скорости

1) в точках максимального отклонения

2) при прохождении положения равновесия

3) в определённой точке, находящейся между положением равновесия и максимального отклонения

4) не будет ни в одной точке

Решение

Полное ускорение $\vec{a}$ материальной точки при движении по криволинейной траектории, какой является траектория математического маятника, можно представить как векторную сумму двух взаимно перпендикулярных компонент: тангенциального (касательного) ускорения $\vec{a}_{\tau}$ и нормального (центростремительного) ускорения $\vec{a}_n$. $$ \vec{a} = \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_n $$ Вектор скорости $\vec{v}$ всегда направлен по касательной к траектории движения. Тангенциальное ускорение $\vec{a}_{\tau}$ направлено вдоль вектора скорости (или в противоположную сторону) и характеризует изменение модуля (величины) скорости. Нормальное ускорение $\vec{a}_n$ направлено перпендикулярно вектору скорости к центру кривизны траектории и характеризует изменение направления вектора скорости.

Условие перпендикулярности векторов ускорения $\vec{a}$ и скорости $\vec{v}$ (то есть $\vec{a} \perp \vec{v}$) будет выполняться только в том случае, если компонент ускорения, параллельный скорости, будет равен нулю. Поскольку вектор скорости $\vec{v}$ направлен по касательной, это означает, что тангенциальное ускорение $\vec{a}_{\tau}$ должно быть равно нулю. $$ \vec{a}_{\tau} = 0 $$ В этом случае полное ускорение будет равно нормальному ускорению: $\vec{a} = \vec{a}_n$, которое по своему определению перпендикулярно вектору скорости.

Рассмотрим силы, действующие на груз математического маятника. Это сила тяжести $m\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Тангенциальное ускорение создается тангенциальной (касательной) составляющей равнодействующей всех сил. Сила натяжения нити $\vec{T}$ всегда направлена вдоль радиуса (по нити), то есть перпендикулярно касательной, и не вносит вклада в тангенциальное ускорение. Тангенциальную составляющую создает только сила тяжести. Если $\theta$ — угол отклонения маятника от положения равновесия, то модуль тангенциальной составляющей силы тяжести равен $F_{\tau} = mg \sin\theta$. Следовательно, тангенциальное ускорение равно: $$ a_{\tau} = \frac{F_{\tau}}{m} = g \sin\theta $$

Условие $a_{\tau} = 0$ выполняется, когда $g \sin\theta = 0$, что возможно только при $\sin\theta = 0$. Это соответствует углу $\theta = 0$, то есть положению равновесия маятника.

Проанализируем предложенные варианты ответа:

1) в точках максимального отклонения
В крайних точках траектории скорость маятника на мгновение становится равной нулю ($v=0$). При этом угол отклонения $\theta$ максимален, а значит, и тангенциальное ускорение $a_{\tau} = g \sin\theta_{max}$ имеет максимальное значение. Полное ускорение направлено по касательной к траектории. Поскольку скорость равна нулю, говорить о перпендикулярности векторов некорректно. Таким образом, этот вариант не подходит.

2) при прохождении положения равновесия
В этой точке (нижней точке траектории) угол отклонения $\theta=0$, следовательно, тангенциальное ускорение $a_{\tau} = g \sin 0 = 0$. Скорость маятника в этой точке максимальна ($v = v_{max} \neq 0$), поэтому нормальное ускорение, равное $a_n = v_{max}^2/L$ (где $L$ — длина маятника), также не равно нулю. Полное ускорение $\vec{a} = \vec{a}_n$ направлено вдоль нити к точке подвеса, то есть перпендикулярно вектору скорости $\vec{v}$, который направлен по касательной к траектории. Этот вариант является верным.

3) в определённой точке, находящейся между положением равновесия и максимального отклонения
В любой промежуточной точке угол $0 < |\theta| < |\theta_{max}|$, поэтому $\sin\theta \neq 0$, и тангенциальное ускорение $a_{\tau} \neq 0$. Скорость в этой точке также не равна нулю ($v \neq 0$), поэтому и нормальное ускорение $a_n \neq 0$. Полное ускорение $\vec{a}$ является векторной суммой ненулевых тангенциальной и нормальной компонент, а значит, его вектор не перпендикулярен вектору скорости $\vec{v}$. Этот вариант не подходит.

4) не будет ни в одной точке
Этот вариант неверен, так как мы установили, что в положении равновесия ускорение перпендикулярно скорости.

Ответ: 2