Номер 3, страница 58 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Выберите формулу, связывающую угол отклонения нити и смещение тела при колебаниях математического маятника.

1) $x = \alpha l$

2) $x = -\alpha l$

3) $x = g/l$

4) $x = -g\alpha$

Решение

Рассмотрим математический маятник — идеализированную систему, состоящую из материальной точки массой $m$, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длиной $l$. Колебания происходят в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Пусть нить маятника отклонена от вертикального положения равновесия на угол $\alpha$. Смещение тела от положения равновесия — это расстояние $x$ по горизонтали от вертикальной оси до текущего положения тела.

Из геометрических соображений, рассматривая прямоугольный треугольник, где гипотенузой является длина нити $l$, а катетом, противолежащим углу $\alpha$, — смещение $x$, можно записать тригонометрическое соотношение:

$ \sin(\alpha) = \frac{x}{l} $

Отсюда можно выразить смещение $x$:

$ x = l \sin(\alpha) $

В физике колебания математического маятника обычно рассматриваются как гармонические, что справедливо только для малых углов отклонения. Для малых углов $\alpha$, выраженных в радианах, выполняется приближенное равенство (аппроксимация):

$ \sin(\alpha) \approx \alpha $

Подставив это приближение в формулу для смещения, мы получаем искомую связь между смещением и углом отклонения для малых колебаний:

$ x = l \alpha $ или, что то же самое, $ x = \alpha l $.

Проанализируем предложенные варианты:

1. $ x = \alpha l $ — эта формула соответствует нашему выводу для малых колебаний.
2. $ x = -\alpha l $ — неверно. Знак должен быть положительным, так как при отклонении в одну сторону (положительный угол), смещение происходит в ту же сторону (положительное смещение).
3. $ x = g/l $ — неверно. Эта формула неверна с точки зрения размерностей. Смещение $x$ измеряется в метрах [м], а величина $g/l$ имеет размерность $(\text{м/с}^2)/\text{м} = 1/\text{с}^2$. Эта величина равна квадрату циклической частоты колебаний $\omega^2$.
4. $ x = -g\alpha $ — неверно. Эта формула также неверна с точки зрения размерностей. Величина $-g\alpha$ имеет размерность ускорения (м/с²). Для малых углов она описывает проекцию ускорения маятника на горизонтальную ось ($a_x \approx -g\alpha$), а не его смещение.

Следовательно, правильная формула находится под номером 1.

Ответ: 1) $ x = \alpha l $.