Номер 5, страница 58 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

5. При колебаниях математического маятника ускорение материальной точки перпендикулярно её скорости

1) в точках максимального отклонения

2) при прохождении положения равновесия

3) в определённой точке, находящейся между положением равновесия и максимального отклонения

4) не будет ни в одной точке

Решение

Полное ускорение $\vec{a}$ материальной точки при движении по криволинейной траектории, какой является траектория математического маятника, можно представить как векторную сумму двух взаимно перпендикулярных компонент: тангенциального (касательного) ускорения $\vec{a}_{\tau}$ и нормального (центростремительного) ускорения $\vec{a}_n$. $$ \vec{a} = \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_n $$ Вектор скорости $\vec{v}$ всегда направлен по касательной к траектории движения. Тангенциальное ускорение $\vec{a}_{\tau}$ направлено вдоль вектора скорости (или в противоположную сторону) и характеризует изменение модуля (величины) скорости. Нормальное ускорение $\vec{a}_n$ направлено перпендикулярно вектору скорости к центру кривизны траектории и характеризует изменение направления вектора скорости.

Условие перпендикулярности векторов ускорения $\vec{a}$ и скорости $\vec{v}$ (то есть $\vec{a} \perp \vec{v}$) будет выполняться только в том случае, если компонент ускорения, параллельный скорости, будет равен нулю. Поскольку вектор скорости $\vec{v}$ направлен по касательной, это означает, что тангенциальное ускорение $\vec{a}_{\tau}$ должно быть равно нулю. $$ \vec{a}_{\tau} = 0 $$ В этом случае полное ускорение будет равно нормальному ускорению: $\vec{a} = \vec{a}_n$, которое по своему определению перпендикулярно вектору скорости.

Рассмотрим силы, действующие на груз математического маятника. Это сила тяжести $m\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Тангенциальное ускорение создается тангенциальной (касательной) составляющей равнодействующей всех сил. Сила натяжения нити $\vec{T}$ всегда направлена вдоль радиуса (по нити), то есть перпендикулярно касательной, и не вносит вклада в тангенциальное ускорение. Тангенциальную составляющую создает только сила тяжести. Если $\theta$ — угол отклонения маятника от положения равновесия, то модуль тангенциальной составляющей силы тяжести равен $F_{\tau} = mg \sin\theta$. Следовательно, тангенциальное ускорение равно: $$ a_{\tau} = \frac{F_{\tau}}{m} = g \sin\theta $$

Условие $a_{\tau} = 0$ выполняется, когда $g \sin\theta = 0$, что возможно только при $\sin\theta = 0$. Это соответствует углу $\theta = 0$, то есть положению равновесия маятника.

Проанализируем предложенные варианты ответа:

1) в точках максимального отклонения
В крайних точках траектории скорость маятника на мгновение становится равной нулю ($v=0$). При этом угол отклонения $\theta$ максимален, а значит, и тангенциальное ускорение $a_{\tau} = g \sin\theta_{max}$ имеет максимальное значение. Полное ускорение направлено по касательной к траектории. Поскольку скорость равна нулю, говорить о перпендикулярности векторов некорректно. Таким образом, этот вариант не подходит.

2) при прохождении положения равновесия
В этой точке (нижней точке траектории) угол отклонения $\theta=0$, следовательно, тангенциальное ускорение $a_{\tau} = g \sin 0 = 0$. Скорость маятника в этой точке максимальна ($v = v_{max} \neq 0$), поэтому нормальное ускорение, равное $a_n = v_{max}^2/L$ (где $L$ — длина маятника), также не равно нулю. Полное ускорение $\vec{a} = \vec{a}_n$ направлено вдоль нити к точке подвеса, то есть перпендикулярно вектору скорости $\vec{v}$, который направлен по касательной к траектории. Этот вариант является верным.

3) в определённой точке, находящейся между положением равновесия и максимального отклонения
В любой промежуточной точке угол $0 < |\theta| < |\theta_{max}|$, поэтому $\sin\theta \neq 0$, и тангенциальное ускорение $a_{\tau} \neq 0$. Скорость в этой точке также не равна нулю ($v \neq 0$), поэтому и нормальное ускорение $a_n \neq 0$. Полное ускорение $\vec{a}$ является векторной суммой ненулевых тангенциальной и нормальной компонент, а значит, его вектор не перпендикулярен вектору скорости $\vec{v}$. Этот вариант не подходит.

4) не будет ни в одной точке
Этот вариант неверен, так как мы установили, что в положении равновесия ускорение перпендикулярно скорости.

Ответ: 2