Номер 6, страница 64 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Запишите формулу (3.22) в случаях колебаний пружинного и математического маятников с учётом выражений для потенциальной энергии.

В задаче требуется применить общую формулу к двум частным случаям. Будем исходить из того, что формула (3.22), упомянутая в задаче, — это закон сохранения полной механической энергии для колебательной системы. В общем виде он гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергий в замкнутой консервативной системе постоянна:

$E = E_k + E_p = \text{const}$

Здесь $E_k = \frac{mv^2}{2}$ — кинетическая энергия тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, а $E_p$ — его потенциальная энергия, вид которой зависит от природы действующих сил.

Пружинный маятник

Для пружинного маятника (тело массой $m$ на пружине жесткостью $k$) потенциальная энергия — это энергия упругой деформации пружины. Она зависит от смещения тела $x$ от положения равновесия и вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

Подставляя это выражение для потенциальной энергии в общий закон сохранения энергии, получаем формулу (3.22) для случая колебаний пружинного маятника:

$\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \text{const}$

Значение этой постоянной равно полной энергии маятника. Например, в крайних точках траектории, где смещение максимально ($x = A$, где $A$ — амплитуда), а скорость равна нулю ($v=0$), полная энергия равна максимальной потенциальной энергии $E = \frac{kA^2}{2}$.

Ответ: для пружинного маятника формула (3.22) с учетом выражения для потенциальной энергии имеет вид: $\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \text{const}$.

Математический маятник

Для математического маятника (материальная точка массой $m$ на невесомой нерастяжимой нити длиной $l$) потенциальная энергия обусловлена силой тяжести. Она зависит от высоты $h$, на которую тело поднято относительно положения равновесия (самой нижней точки траектории). Формула для потенциальной энергии:

$E_p = mgh$

где $g$ — ускорение свободного падения. Высоту $h$ можно выразить через длину нити $l$ и угол отклонения маятника от вертикали $\alpha$: $h = l(1 - \cos\alpha)$.

Подставляя выражение для потенциальной энергии в закон сохранения энергии, получаем формулу (3.22) для случая колебаний математического маятника:

$\frac{mv^2}{2} + mgh = \text{const}$

Эта формула выражает, что в любой точке траектории сумма кинетической энергии и гравитационной потенциальной энергии остается неизменной. В крайних точках, где высота максимальна ($h = h_{max}$), а скорость равна нулю ($v=0$), полная энергия равна $E = mgh_{max}$.

Ответ: для математического маятника формула (3.22) с учетом выражения для потенциальной энергии имеет вид: $\frac{mv^2}{2} + mgh = \text{const}$.