Номер 4, страница 65 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. Почему частота колебаний тела, прикреплённого к пружине, зависит от его массы, а частота колебаний математического маятника от массы не зависит?

Решение

Различие в зависимости частоты колебаний от массы для пружинного и математического маятников объясняется природой возвращающей силы и инертностью колеблющегося тела в каждой из этих систем.

1. Тело, прикрепленное к пружине (пружинный маятник)

В пружинном маятнике возвращающая сила — это сила упругости пружины. Согласно закону Гука, она зависит от жесткости пружины $k$ и смещения тела $x$ от положения равновесия: $F_{упр} = -kx$. Важно отметить, что эта сила не зависит от массы $m$ колеблющегося тела.

С другой стороны, согласно второму закону Ньютона ($F=ma$), ускорение, которое эта сила сообщает телу, обратно пропорционально его массе: $a = \frac{F_{упр}}{m} = -\frac{kx}{m}$. Это означает, что чем больше масса тела (т.е. чем больше его инертность), тем меньшее ускорение оно получает при действии той же возвращающей силы. В результате тело с большей массой колеблется медленнее, то есть с меньшей частотой.

Формула для частоты колебаний пружинного маятника прямо подтверждает этот вывод: $ \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $

Из формулы видно, что частота $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из массы $m$.

Ответ: Частота колебаний тела на пружине зависит от его массы, потому что возвращающая сила упругости не зависит от массы, в то время как инертность тела, определяющая его ускорение, прямо пропорциональна массе.

2. Математический маятник

В математическом маятнике возвращающей силой является тангенциальная (касательная) составляющая силы тяжести: $F_{возвр} = -mg \sin\alpha$, где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, а $\alpha$ — угол отклонения от вертикали. В этом случае возвращающая сила прямо пропорциональна массе тела.

Запишем второй закон Ньютона для маятника: $ma = F_{возвр}$. Подставив выражение для возвращающей силы, получим: $ma = -mg \sin\alpha$.

Как видно из уравнения, масса $m$ (слева — инертная, справа — гравитационная) находится в обеих частях и может быть сокращена. В результате ускорение тела $a = -g \sin\alpha$ оказывается не зависящим от массы. Это происходит потому, что увеличение возвращающей силы для более массивного тела в точности компенсируется увеличением его инертности.

Формула для частоты колебаний математического маятника (при малых углах отклонения) выглядит так: $ \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} $

В этой формуле масса $m$ отсутствует. Частота зависит только от длины нити $l$ и ускорения свободного падения $g$.

Ответ: Частота колебаний математического маятника не зависит от массы, потому что и возвращающая сила (сила тяжести), и инертность тела прямо пропорциональны массе. В результате этого масса сокращается в уравнении движения, и ускорение тела от нее не зависит.