Номер 4, страница 68 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. Тело массой 200 г совершает колебания в горизонтальной плоскости с амплитудой 2 см под действием пружины жёсткостью 16 Н/м. Определите циклическую частоту колебаний тела и энергию системы.

Дано:

Масса тела, $m = 200 \text{ г}$

Амплитуда колебаний, $A = 2 \text{ см}$

Жёсткость пружины, $k = 16 \text{ Н/м}$

Перевод величин в Международную систему единиц (СИ):

$m = 200 \text{ г} = 200 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.2 \text{ кг}$

$A = 2 \text{ см} = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Циклическую частоту, $\omega - ?$

Энергию системы, $E - ?$

Решение:

Циклическая частота колебаний тела

Циклическая (или угловая) частота $\omega$ свободных гармонических колебаний пружинного маятника связана с массой тела $m$ и жёсткостью пружины $k$ следующим соотношением:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$\omega = \sqrt{\frac{16 \text{ Н/м}}{0.2 \text{ кг}}} = \sqrt{80} \text{ рад/с}$

Упростим полученное значение:

$\omega = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \text{ рад/с}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\sqrt{5} \approx 2.236$:

$\omega \approx 4 \cdot 2.236 \approx 8.944 \text{ рад/с}$

Округлим до сотых: $\omega \approx 8.94 \text{ рад/с}$.

Ответ: циклическая частота колебаний тела равна $4\sqrt{5} \text{ рад/с}$, что приблизительно составляет $8.94 \text{ рад/с}$.

Энергия системы

Полная механическая энергия колебательной системы в данном случае складывается из кинетической энергии тела и потенциальной энергии пружины. Так как колебания происходят без потерь энергии (трение не учитывается), полная энергия системы остается постоянной. Она равна максимальной потенциальной энергии пружины, которая достигается в моменты, когда тело находится в крайних точках траектории (то есть на расстоянии амплитуды $A$ от положения равновесия). В этих точках скорость тела равна нулю.

Формула для полной энергии системы:

$E = E_{p, \text{max}} = \frac{k A^2}{2}$

Подставим известные значения в систему СИ:

$E = \frac{16 \text{ Н/м} \cdot (0.02 \text{ м})^2}{2} = 8 \text{ Н/м} \cdot 0.0004 \text{ м}^2 = 0.0032 \text{ Дж}$

Полученное значение можно также выразить в миллиджоулях:

$0.0032 \text{ Дж} = 3.2 \text{ мДж}$

Ответ: энергия системы равна $0.0032 \text{ Дж}$.